《高等数学》同济版 全程教学视频（宋浩老师）

p1（映射）

知识点——

1.映射的三要素：定义域，对应关系与值域。在这里强调一下定义域＝集合X，而值域⊆集合Y。

2.定义域中的任一元素x∈集合X，所对应的y是唯一的，但同一个y可以对应多个x。

直到这里来看，总体来说，第一课还是相对简单的，与高中时候的函数并无太大的差异。

下面是相对高中知识来说新的概念：

满射：当集合Y中的所有元素都有对应的x（也就是值域＝集合Y）时，这时就叫做满射。

单射：每个y都只对应一个x，举个例子，如一次函数。

哦，老师讲得挺好的

∵x1≠x2

∴f（x1）≠f（x2），y1≠y2

比较系统。

逆映射：这种情况下一定得是单射，才能通过已知的y来反推唯一的x，可以理解成把xy直角坐标系图像直接翻过来www，值得注意的是，因为没有要求满射，所以这时候的图像会出现“部分y不存在对应的x”的情况，所以我们要强调y∈值域。

多说无益，上模板：

f：X→Rf g：Rf→X

则此时g为f的逆映射，

记作：f∧-1（读作f逆）

（当然，f应该也可以记作g∧-1）

复合映射：这玩意听着挺抽象的，直到f[g(x)]∈Z出来，是不是松了一口气？www

回到正题，这个类似于复合函数，唯一的不同是……等等，先抄模板：

g：X→Y1 f：Y2→Z

Y1⊆Y2，x∈X，f[g(x)]∈Z

然后得出复合映射f°g：X→Z

最大的区别在于复合函数没有Y1⊆Y2这一系列的对应关系，因为我们通常默认这些条件是成立的，也可以看出来映射与函数的不同在于它相当强调x与最后得出的y的对应关系。

或者说：要确保x最后一定存在一个与之对应的y。

这里应该同时属于满射和单射，还能看出来当二者同时存在时，X和Y的元素数量一致。

有点小啰嗦的知识点：

XY不能为空集，也可以不是数字集。

就这点还算好理解，结合函数图像来看，如果XY任一为空集图像就不存在，函数也就没有意义，可以不是数字集这点可以马克一下，不知道后面会不会用到（不过就算用到可能也就是用到虚数集合的程度吧）

因为有点懒所以也没抄，但想了想还是得用：

值域的符号是Rf，如果和Y混用会出错。

f是映射，可以借用以前的f（x）=y来理解，也就是表示xy间关系的符号。

定义域的符号是Df，因为它与集合X完全相等，估计直接记X也没问题，不过记起来也完全不麻烦，dingyiyu的D嘛www（日语生真的是😡）

——————

写在p2前面，笔记原属于私人笔记，为了作为作业方便家里姐姐检查才公开的，我也只是一个还在家里休学的高中生而已，要是有问题要问我当然会尽力去解答，但也请别太抱有希望……

——————

p2（函数）

这节主要是详细讲解了一下我们比较熟悉的函数，可以借此来比较函数与映射的不同。

函数只有两个要素：

1.定义域（Df），它必须是实数或者其子集。

2.转换关系（f）

而值域视定义域而定，也就默认只能⊆R。

总结一下，

定义域为D，且D⊆R

转换关系f：D→R

而值域Rf视D而定，即Rf=f（D），显然，

Rf也⊆R

顺便，毕竟是“函数”，也就说明了它的两个域都只能是数字集。

举例介绍函数的解析式和图形。

其实没什么新东西，都是我们相当熟悉的内容，不过这里老师讲到一个“sgn”，也就是我们曾经常见的分段函数的符号。

这道题挺有意思的www，刚才被一个弹幕逗乐了

“图像为  —.—”

噗哈哈哈哈哈

对自己在课堂上的一点总结：

虽然值域为了不会实数符号R混淆，只能用Rf来表示，但D与Df都是用来表示定义域的，随便写哪个都没问题。

关于这点得到了一个教训，上课的时候要集中注意力，特别是各种各样的符号变多的时候，不然就得像这次一样要回过头再去翻老师的解释了。

现实课堂毋round2，上课分神需谨慎。

————

p3（函数特性）

（1）有界性

上界：∃K1 f（x）≤K1

下界：∃k2 f（x）≥k2

它们都不唯一，例如：

函数中x（min）＝1

那么≥1就是它的一个下界，但不是它唯一的下界，还可以是≥0或者＞0

有界：∃正数M，丨f（x）丨≤M

即 -M≤f（x）≤M

只要可以把函数左右两端框起来，就是说使函数的值域不是无限的，那就是有界。

那什么是无界呢？

拉出我们的好伙伴逆命题：

∀正数M，∃x1∈X，丨f（x1）丨＞M

这样一来就无法框住这个函数了，它将无边无界，在无限的前景中愈行愈远（bushi

单调性，奇偶性，周期性这些都是相当熟悉的内容了，没什么好说的，讲一下我脑子里现在闪过的几个点得了。

单调性：同一单调区间内，

x1＞x2，f（x1）＞f（x2），单调递增，反之单调递减。

奇偶性：定义域要对称，f（-x）＝f（x）为偶，f（-x）＝-f（x）为奇。

周期性：以基本三角函数sin或cos为例，周期为2πx，存在最小正周期2π。

但并非每个周期函数都有最小正周期。

这个例子就较为惊悚，很难不怀疑老师在存心拿我寻乐www。

但是其实理解起来也简单，即便它确实是一个周期函数，但是因为可以无限细分，无法找到它的最小正周期。

看到有人质疑这个函数为什么是周期函数，就按我的理解解释一下，因为有理数具有一定的周期（任何有理数都可以用两个整数间的分数来表示，如三又三分之一、三又三分之二，如果再细分甚至可以分到三又无穷大分之一、三又无穷大分之二，因为它是分数，所以依然是有理数，而它们两两之间间隔必定相等，所以具有周期性），而无理数是非有理数，也必然存在一定的周期，所以一整个就是一个周期函数。（cpu给我干冒烟了）

综上，在此函数中，零到任一个有理数间的间隔都可以视作一个周期。

而老师的解释比较直白一点，搞了半天整得像我想多了似的，越想越气，不抄了自己看。

这个是为自己写的一点笔记：

以前学充分必要的时候会混淆∀和∃，毕竟∀既可以是“any”也可以是“all”，直到我变成了日语笨蛋，只能用“every”来解释∃时，才彻底摆脱了这个苦恼。

这一课的内容不太密集，主要是举例讲概念、讲故事、复习以前的内容多点，实际上的内容也就那点，还没到需要有压力的时候。

不过还是建议不要跳过那些内容，利用那点缓冲时间换一下脑子，整理一下思绪。

在“爱情故事”里面延伸出来的东西很多，阶乘、联加，主要还有一个以前没接触过的概念，鸟居……不是，联乘，和联加差不多，只是由加号变为了乘号。

————

p4（函数延伸）

（1）反函数

同p1里我们学过的逆映射，首先，它必须是单射。

因为反函数的图像是原图像关于x＝y对称，所以：

若原函数具有单调性，则反函数也必具有单调性，且单调性相同。（原图像递增就是递增，递减就随之递减。）

（2）复合函数

也与之前的复合映射同理。

同样有“前一函数的值域必须在后一函数的定义域内”，但做题时我们通常不用关注。

运算方面：

后面很少用到，而且和四则运算一样，基本不用看。

f(x) g(x) Df Dg

D＝Df∩Dg≠∅（因为x得同时符合两个函数的定义域，所以它们需要有一个共同的定义域。）

(f±g)(x)＝f(x)±g(x)（函数相加减等于函数值相加减。）

(f✖️g)(x)＝f(x)✖️g(x)（函数相乘等于函数值相乘。）

(f/g)(x)＝f(x)/g(x) g(x)≠0

姑且点一下黑板，老师所言：复合函数对后面的内容来说很重要，在复合函数求导和全微分会用到。

不太清楚问题是什么，可能会听得有点一头雾水，大概是要证明“任一函数都能用一个偶函数和一个奇函数相加表示”？

不过证明方式挺简单，直接将一个偶函数g加一个奇函数h代进去，设其成立，然后设X＝-x与x，得到方程式组：

f(x)＝g(x) + h(x)

f(-x)＝g(x) + [-h(x)]＝g(x) - h(x)

相加得f(x) + f(-x)＝2g(x)，

1 g(x)＝1/2[f(x) + f(-x)]*

相减得f(x) - f(-x)＝2h(x)，

2 h(x)＝1/2[f(x) - f(-x)]

然后再拿两个式子相加，得：

1/2[f(x) + f(-x)] + 1/2[f(x) - f(-x)]＝f(x)

式子成立。

若是不放心，也可以拿上面1、2两式代入 X＝-x来验证是否真的是奇/偶函数，不过我认为没必要，毕竟已经把g(-x)＝g(x)、h(-x)＝-h(x)默认为对的了，所以就不再验算了。（主要是懒，各种数学符号真的难打）

（3）初等函数

如：幂函数 y＝x∧a

指数函数 y＝a∧x

对数函数 y＝log∨a x（如何表示对数函数，这个是真的在认知范围外了）

这些都属于“基本初等函数”

那么“初等函数”的概念是什么呢？

只要是有限次的基本初等函数复合，都属于基本函数，强调有限次。

自此，第一小节的内容完结，总体而言，这部分的内容很浅，而且不会怎么考，属于给高中生一个迈入高等数学的缓冲。

原来想多少说些什么，可是抬头一看已经四点多了，家里猫猫都睡了，也就不再多说了，现在也去找个视频睡了罢