【种花家务·几何】1-1-08垂线『数理化自学丛书6677版』

2023-11-09 10:53 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章直线、角、平行线——角和垂线

§1-8垂线

【01】我们在纸上画两条直线，如果它们相交，那末只能相交于一点，这点叫做两直线的交点。

【02】如果两条直线相交成直角，那末这两条直线叫做互相垂直。在图1·53中，直线 AB 和 CD 是互相垂直的。

【03】我们用符号“⊥”来表示“垂直于”。例如，在图1.53中 AB⊥CD，或写成 CD⊥AB，它们的相交点 E 叫做垂足。

【04】在日常生活和生产中，互相垂直的情形是很多的，例如，房屋的柱和梁一般是互相垂直的；台脚和台框也是互相垂直的；东西方向和南北方向也是互相垂直的；等等。

【05】过一点画一条直线的垂线，可以用三角板（图1·54）。

【06】用三角板画垂线时，一般是把三角板放在右边，铅笔从下方引向上方。在图1·54的右图中的情况，可以将虚线画的三角板拿掉后，沿着左面那块三角板画垂线较准确。

【07】在工厂里，要画工作物边缘的垂线，用曲尺最方便（图1·55）。

【08】我们很容易看到，过直线外或者直线上的一点，都只能画一条直线和原来的直线垂直。

【09】实际上，如果点 P 在 AB 上，而 PC⊥AB（图1·56），那末通过 AB 上的点 P 所引的任何其他射线都不能与直线 AB 垂直。例如 PK 就不能垂直 AB 。因为 ∠KPB 小于直角，∠KPA 大于直角，所以都不是直角。

【10】如果点 P 在直线 AB 外。我们取一张纸，画一直线 AB，并在 AB 外指定一点 P 。沿着直线 AB 把纸折迭起来，用小针尖刺点 P，则在纸的另一半面上留下和点 P 对齐的小孔(P') 。再把纸摊平，经过点 P 和点 P' 画一直线 PP'（图1·57），它与 AB 交于点 O 。倘再沿着 AB 折迭，就会看到 ∠P'OB 与 ∠POB 重合，而且 ∠POP' 是一平角，所以 ∠P'OB 和 ∠POB 都是直角，也就是 PP'⊥AB 。

【11】如果从点 P 引其他任何直线，例如 PE，都不能垂直 AB 因为 ∠PEP' 小于一平角，它的一半 ∠PEA 就小于一直角，∠PEB 则大于一直角，所以都不是直角。

【12】这样，就证实了过直线外或者直线上的一点，都只能画一条直线和原来的直线垂直。

【13】从直线 AB 外一点 P 到 AB 的垂直线段 PO 的长，叫做点 P 和直线 AB 的距离。PO 是所有从 P 到 AB 上各点的线段中最短的一条（图1·57）。

【14】我们学了垂线和用三角板画垂线以后，就可利用它来检查三角板的直角是否准确。先画一条直线，在这条直线上任意取一点作为角的顶点，过这点用三角板画直角。然后把三角板翻过来，使直角的同一条边放到这直线上顶点的另一旁，并且再用已知点作角的顶点画第二个直角，如果所画的两条直线重合（图1·58(1)），三角板就是准确的，如果所画的两条直线不能重合（图1·58(2)），三角板就不准确。