摆线——最速降线与Huygens等时定理

2023-01-25 13:18 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

本文求解最速降线是利用约翰伯努利的方法，并不涉及变分学，若想了解变分法，请移步下一期文章。

最速降线问题

该问题的历史可追溯到1630年，伽利略提出了一个分析学的基本问题：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。

或许直觉上会认为线段是最快的，但伽利略本人认为最快的曲线是圆的一部分，然而事实上这两种情况都不是时间最快的。

1696年约翰伯努利解决了该问题后向欧洲发出关于该问题的挑战，引起了当时欧洲各地数学家尝试各种方法解决这个问题。其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。很有意思的是伯努利发出挑战的初衷是凸显自己方法高明，但伯努利本人花了两个星期左右，然而已退休的牛顿仅用了一晚上，并且匿名发表了他的答案，后来他向朋友表示“我不喜欢让外国人嘲弄我的数学能力”。

好了，有关它的历史就不再多说了。

对于该问题，可以不失一般性地假设A点位于原点，B点位于点 $(a%2Cb)$ ，且 $a%3E0%2Cb%3C0$ 。

伯努利本人的解法是假设有一条用时最短的曲线即最速降线，将它水平地切成n等份，再连接相邻两层与曲线的交点，如图

当这样的划分越来越密集时，层数会越来越多，每层会越来越薄，折线会越来越多，其形状也就越来越趋近于最速降线，而最速降线的在每一层上都近似与它在这一层的折线。

此时，就可以将其转化为这样一个较简易的问题：

（Biathonlon问题）给定平面上两点分别作为起点与终点，其间有一条水平的直线，一质点从起点沿着一条线段匀速到达直线上一点再沿着另一条线段匀速到达终点，求耗时最短的路径。

如上图所示，我们打算寻求 $%5Calpha$ 与 $%5Cbeta$ 之间的联系，费马原理指出两点间光总是沿耗时最短的路径传播，所以这条耗时最短的路径完全可以看作是一条光线，只不过速度不同于光速罢了。设质点在直线上方以速度 $v_1$ 匀速运动，下方则以速度 $v_2$ 匀速运动。

方便起见，就假设A点位于原点，B点位于点 $(a%2Cb)$ ，而 $P$ 位于 $(x%2Cy)$ ，并且有 $a%2Cx%3E0%2Cb%2Cy%3C0$ 。

质点运动的总时间为直线上方运动的时间加直线下方运动的时间，即

$T%3D%5Cfrac%7BL_1%7D%7Bv_1%7D%2B%5Cfrac%7BL_2%7D%7Bv_2%7D$

进一步，有

$T%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D%7Bv_1%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B(x-a)%5E2%2B(y-b)%5E2%7D%7D%7Bv_2%7D%0A$

由于 $P$ 位于水平的直线上，所以 $y$ 是定值，上式的变量是 $x$ ，它取极小值的必要条件为

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dT%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D0$

也就是

$%5Cfrac%7Bx%7D%7Bv_1%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Bv_2%5Csqrt%7B(x-a)%5E2%2B(y-b)%5E2%7D%7D%3D0$

从而可知

$%5Cfrac%7B%5Csin%5Calpha%7D%7Bv_1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cbeta%7D%7Bv_2%7D$

你可能注意到了这正是光学中Snell定律的等式，入射角与折射角之间的关系，这是由于光线的传播总是选择耗时最短的路径。

现在回过头来考虑最速降线，每一层的折线都可以看作是一条“低速光线”，那么每相邻的两层入射角与折射角满足Snell定律，当层数为n时，设每一层上的传播速度与入射角（或折射角）为 $v_i%2C%5Ctheta_i%2C1%5Cle%20i%5Cle%20n$ ，那么就有

$%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Ctheta_1%7D%7Bv_1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_2%7D%7Bv_2%7D%3D%5Cdots%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_%7Bn-1%7D%7D%7Bv_%7Bn-1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_n%7D%7Bv_n%7D%3D%3AC$

令 $n$ 趋向无穷大，可写出

$%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Ctheta%7D%7Bv%7D%3DC$

这里参变量 $%5Ctheta$ 仅随 $x$ 的变化而变化。而根据机械能守恒，应该有

$%5Cfrac12mv%5E2%3D-mgy$

也就是

$v%3D%5Csqrt%7B-2gy%7D$

从而有

$%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B%5Csqrt%7B-2gy%7D%7D%3DC$

也就是

$y%3D-%5Cfrac%7B%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7B2gC%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4gC%5E2%7D(1-%5Ccos2%5Ctheta)$

这里 $%5Ctheta$ 可视作在横坐标为 $x$ 的点曲线的切线与 $y$ 轴的夹角，从而可知

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7B%5Cmathrm%20dy%7D%3D-%5Ctan%5Ctheta$

而由于

$%5Cmathrm%20dy%3D-%5Cfrac%7B%5Csin2%5Ctheta%7D%7B2gC%5E2%7D%5Cmathrm%20d%5Ctheta$

所以

$%5Cmathrm%20dx%3D%5Cfrac1%7B2gC%5E2%7D%5Ccdot%7B%5Csin2%5Ctheta%7D%5Ccdot%7B%5Ctan%5Ctheta%7D%5Cmathrm%20d%5Ctheta$

由此可解得

$x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2gC%5E2%7D%5Cleft(%5Ctheta-%5Cfrac12%5Csin2%5Ctheta%5Cright)%2BC_0$

由 $x(0)%3D0$ 算得 $C_0%3D0$ 。最后，做变量代换 $%5Cvartheta%3D2%5Ctheta$ ，得到最速降线就是以 $%5Cvartheta$ 为变量的曲线，其参数方程为

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7Dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4gC%5E2%7D%5Cleft(%5Cvartheta-%5Csin%5Cvartheta%5Cright)%20%5C%5Cy%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4gC%5E2%7D(1-%5Ccos%5Cvartheta)%5C%5C%5Cvartheta%5Cin%5B0%2C%5CTheta%5D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

这是一条摆线，也叫旋轮线。该方程中的常数 $C%2C%5CTheta$ 可由

$x(%5CTheta)%3Da%2Cy(%5CTheta)%3Db$

确定，这里应当满足 $%5CTheta%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D$ 。

摆线

常规的摆线是如下形式的曲线

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Cgamma%3A%5B0%2C2%5Cpi%5D%26%5Clongrightarrow%20%5Cmathbb%20R%5E2%0A%5C%5C%5Cvartheta%26%5Clongmapsto%20(x%2Cy)%5Cend%7Balign%7D%0A$

其中满足 $x%2Cy$ 参数方程

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7Dx%3DR%5Cleft(%5Cvartheta-%5Csin%5Cvartheta%5Cright)%20%5C%5Cy%3DR%5Cleft(1-%5Ccos%5Cvartheta%5Cright)%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

在一条直线上放置一个半径为 $R$ 的圆，在圆上点一个点，再让圆沿着直线滚动，然后把圆上的点走过的轨迹绘制出来，不难验证得到的是上述摆线，如图：

在此图中， $%5Cvartheta$ 可视为点与圆心的连线与圆心竖直向下方向的夹角，即圆滚动的角度，而 $%5Cgamma(%5Cvartheta)$ 则可以看作圆上的那个点：

下面简单计算一下摆线的面积与弧长。

（面积）在区间 $%5B0%2C%5CTheta%5D%2C(0%3C%5CTheta%5Cle2%5Cpi)$ 上，摆线与直线围成的图像面积为

$S(%5CTheta)%3D%5Cint_0%5E%7B%5CTheta%7Dy%5C%20%5Cmathrm%20dx$

因为

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Cmathrm%20dx%26%3DR%5Cleft(1-%5Ccos%5Cvartheta%5Cright)%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%5C%5Cy%26%3DR%5Cleft(1-%5Ccos%5Cvartheta%5Cright)%5Cend%7Balign%7D$

所以

$S(%5CTheta)%3DR%5E2%5Cint_0%5E%7B%5CTheta%7D(1-%5Ccos%5Cvartheta)%5E2%5Cmathrm%20d%5Cvartheta$

最后算得

$S(%5CTheta)%3D%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7B4%7D%5Cleft(6%5CTheta-8%5Csin%5CTheta%2B%5Csin(2%5CTheta)%5Cright)$

特别地，取 $%5CTheta%3D2%5Cpi$ ，可得到 $%5B0%2C2%5Cpi%5D$ 上整条摆线与直线围成的面积 $S%3D3%5Cpi%20R%5E2$

（弧长）同样取区间 $%5B0%2C%5CTheta%5D%2C(0%3C%5CTheta%5Cle2%5Cpi)$ 。有

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Cmathrm%20ds%26%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%20dx%5E2%2B%5Cmathrm%20dy%5E2%7D%5C%5C%26%3DR%5Csqrt%7B2-2%5Ccos%5Cvartheta%7D%5Cmathrm%20%5C%20%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%5C%5C%26%3D2R%5Csin%5Cfrac%7B%5Cvartheta%7D%7B2%7D%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%5Cend%7Balign%7D$

从而弧长

$L(%5CTheta)%3D2R%5Cint_0%5E%5CTheta%5Csin%5Cfrac%7B%5Cvartheta%7D2%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%3D4R%5Cleft(1-%5Ccos%5Cfrac%7B%5CTheta%7D%7B2%7D%5Cright)$

再取 $%5CTheta%3D2%5Cpi$ ，可得 $%5B0%2C2%5Cpi%5D$ 上整条摆线长 $L%3D8R$

下面是摆线的一种特殊性质

Huygens等时定理

既然已经知道了最速降线是一条摆线，质点在这条摆线上运动耗时最短，那么这个最短的耗时是多少呢？

首先来考虑这样的一个问题：

设一条最速降线 $%5Cgamma%3A%5B0%2C%5Cpi%5D%5Clongrightarrow%20%5Cmathbb%20R%5E2$ ，其参数方程为

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7Dx%3DR%5Cleft(%5Cvartheta-%5Csin%5Cvartheta%5Cright)%20%5C%5Cy%3D-R%5Cleft(1-%5Ccos%5Cvartheta%5Cright)%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

曲线的终点为 $(%5Cpi%20R%2C-2R)$ ，这也正是其最低点。令一质点由曲线上任意一点 $%5Cgamma(%5Comega%20)$ 出发，仅考虑重力作用，问质点最终运行到最低点的耗时为多少？

由机械能守恒我们知道质点的速度为

$v%3D%5Csqrt%7B2g(y(%5Comega)-y)%7D%3D%5Csqrt%7B2gR%5Cleft(%5Ccos%5Comega-%5Ccos%5Cvartheta%5Cright)%7D$

而又有

$v%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20ds%7D%7B%5Cmathrm%20dt%7D%3D2R%5Csin%5Cfrac%7B%5Cvartheta%7D2%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%7D%7B%5Cmathrm%20dt%7D$

所以

$%5Cmathrm%20dt%3D%5Cfrac%7B2R%5Csin%5Cvartheta%2F2%7D%7B%5Csqrt%7B2gR%5Cleft(%5Ccos%5Comega-%5Ccos%0A%5Cvartheta%5Cright)%7D%7D%20%5Cmathrm%20d%5Cvartheta$

从而耗时为

$T(%5Comega)%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2R%7D%7Bg%7D%7D%5Cint_%7B%5Comega%7D%5E%5Cpi%5Cfrac%7B%5Csin%5Cvartheta%2F2%7D%7B%5Csqrt%7B%5Ccos%5Comega-%5Ccos%0A%5Cvartheta%7D%7D%20%5Cmathrm%20d%5Cvartheta$

经过一通计算

$%5Cbegin%7Balign%7DT(%5Comega)%26%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2R%7D%7Bg%7D%7D%5Cint_%7B%5Comega%7D%5E%5Cpi%5Cfrac%7B%5Csin%5Cvartheta%2F2%7D%7B%5Csqrt%7B%5Ccos%5Comega-%5Ccos%0A%5Cvartheta%7D%7D%20%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%5C%5C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BR%7Dg%7D%5Cint_%5Comega%5E%5Cpi%5Cfrac%7B%5Csin%5Cvartheta%2F2%7D%7B%5Csqrt%7B%5Ccos%5E2%5Comega%2F2-%5Ccos%5E2%5Cvartheta%2F2%7D%7D%5Cmathrm%20d%5Cvartheta%5C%5C%26%3D2%5Csqrt%7B%5Cfrac%20Rg%7D%5Cint_0%5E%7B%5Ccos%5Comega%2F2%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du%7D%7B%5Csqrt%7B%5Ccos%5E2%5Comega%2F2-u%5E2%7D%7D%5C%5C%26%3D%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%20Rg%7D%5Cend%7Balign%7D$

最终算得其耗时是一个常数，这说明了：

（Huygens等时定理）在参数方程形如

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7Dx%3DR%5Cleft(%5Cvartheta-%5Csin%5Cvartheta%5Cright)%20%5C%5Cy%3D-R%5Cleft(1-%5Ccos%5Cvartheta%5Cright)%5C%5C%5Cvartheta%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

的摆线上，从任意点出发的质点在只受重力的作用下运动到最低点的耗时总是一样的。

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