【几何原本】欧几里得是如何证明余弦定理的?

（新版编辑器依托答辩，用起来真不顺手） 余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 摘自百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86/957460?fr=ge_ala 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

如图，对于任意三角形，都有 AB²+ BC² - 2·cosα·AB·BC = AC² 两千五百年前的古希腊还没有三角函数，不过已经有了类似的形式 欧几里得将他的证明方法记录在了《几何原本》的命题II.12 先来看看原文

（《几何原本》通篇没有一个现代数学语言，我拍的这么糊你们估计也不会细看，所以本文用现代数学语言来证明） 几何原本嘛，当然全是几何咯（其实也有数论部分）所以“平方”这个说法在几何原本中是“一边上的正方形” 这个证明又用到了两个命题:命题II.4和命题I.47 命题I.47是我们熟知的勾股定理，至于命题II.4，如下文： 命题II.4如果任意两分一个线段，则在整个线段上的正方形等于各个小线段上的正方形的和加上由两小线段构成的矩形的二倍

如图，线段AB被C两分 正方形ABCD的面积 等于 (正方形HIDF的面积 和 正方形CIJB的面积 和矩形IJFE的面积的两倍) 的和 其实就是初中学的完全平方公式的几何证法 可能扯的有点远了，接下来就是标题所说的，欧几里得是怎么证明余弦定理的

如图，BC² = AB² + AC² + 2(AD + BC) 证明： 设△ABC为钝角三角形∠ABC为钝角 延长CB，过A作CB延长线的垂线交于D 那么就有AD² + DC² = AC² （命题I.47） 注意到DC被B两分，因此 DC² = DB² + BC² + 2 · DB · BC（命题II.4） 整理得 AD² + DB² + BC² + 2 · DB · BC = AC 由于△ADB 是直角三角形，于是又有 AB² + BC² + 2 · DB · BC = AC² 证毕 几何原本没有什么三角函数，不过只要再把余弦代进已经证明的式子就行了，如下： 设∠ABD = θ ∠ABC为α 那么，DB = cosθ · AB 由余弦的性质 cosα = -cosθ 再把DB的余弦表达式代进原式就行了 如果是钝角所对的边，就要加上两个矩形，若为锐角，就要减去两个矩形，对应余弦的性质 本文完