等差、等比数列重要性质全汇总！|小姚老师
等差、等比数列重要性质全汇总！
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等差数列：
设首项为a1 , 末项为an , 项数为n , 公差为 d , 前 n项和为Sn
,则有:
等差数列求和公式
当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。
注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推导
证明：由题意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即（A1+An）
通向推导：
等差数列基本公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
和=(首项+末项)×项数÷2
差:首项+项数×(项数-1)×公差÷2
来一道题练练手：
转化成基本量处理：
来一道有点小难度的题目~
如果代上式计算量过大，所以要技巧
左右两项数量相等
角标数量和相同
作用：实现通项公式的转换
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq
②若m+n=2q，则am+an=2aq（等差中项）
注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。
推论：等差中项
通项正负继续推单调性
推论二：
作用：a与S互相转化
如下
例三：
答案：
推论：
例子：
构造：
推论：
证明：
例子：
答案：
等差数列基本公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
和=(首项+末项)×项数÷2
差:首项+项数×(项数-1)×公差÷2
等比数列：
等比数列求和公式为：Sn=n*a₁(q=1) Sn=a₁(1-q^n)/(1-q) =(a₁-anq)/(1-q) （q不等于 1）
通项公式：
an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
等比数列的意义
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，
这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如：
2、4、8、16......2^10
就是一个等比数列，其公比为2，
可写为（A2）的平方=（A1）x（A3）
性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；
等比数列的特殊性质
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；
④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
求和公式
Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)
S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）
(q为公比，n为项数）
例子：
答案：
性质二证明：
例子：
答案：
总结：
等差数列：设首项为a1 , 末项为an , 项数为n , 公差为 d , 前 n项和为Sn
,则有:
等差数列求和公式
当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。
注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推导
证明：由题意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即（A1+An）
通向推导：
等差数列基本公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
和=(首项+末项)×项数÷2
差:首项+项数×(项数-1)×公差÷2
性质：
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq
②若m+n=2q，则am+an=2aq（等差中项）
注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。
等比数列：
等比数列求和公式为：Sn=n*a₁(q=1) Sn=a₁(1-q^n)/(1-q) =(a₁-anq)/(1-q) （q不等于 1）
通项公式：
an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
等比数列的意义
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，
这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如：
2、4、8、16......2^10
就是一个等比数列，其公比为2，
可写为（A2）的平方=（A1）x（A3）
性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；
等比数列的特殊性质
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；
④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
求和公式
Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)
S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）
(q为公比，n为项数）
