视频 BV1rK411w7E3 定理 证明

BV1rK411w7E3

作P点在面ABC上的投影O
连接AO
设∠CAO与∠BAO
分别为α1与α2

有
cosα1=cosβ/cosθ
cosα2=cosγ/cosθ
即
sinα1＝√(cos²θ-cos²β)/cosθ
sinα2=√(cos²θ-cos²γ)/cosθ
即
cosα
=cos(α1+α2)
＝cosα1cosα2-sinα1sinα2
=(cosβcosγ
-√((cos²θ-cos²β)(cos²θ-cos²γ))）
/cos²θ

sinα
＝sin(α1+α2)
=sinα1cosα2+cosα1sinα2
＝(cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）
/cos²θ

即
cosθ
＝((cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）
/cosθ）
/
((cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）
/cos²θ）

＝√(((cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）²
/cos²θ）
/
((cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）
/cos²θ）

=√((cos²βcos²θ+cos²γcos²θ
-2cos²βcos²γ
+2cosβcosγ√((cos²θ-cos²β)(cos²θ-cos²γ))）
/cos²θ）
/
((cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）
/cos²θ）

=√(cos²β+cos²γ
-2cosβcosγ(cosβcosγ
-√((cos²θ-cos²β)(cos²θ-cos²γ))）
/cos²θ）
/
((cosγ√(cos²θ-cos²β)
+cosβ√(cos²θ-cos²γ)）
/cos²θ）

=√(cos²β+cos²γ-2cosαcosβcosγ)
/sinα

得证

ps.
抑或简单一点
据其意义

过P点分别作AB与AC垂线
垂足分别为M与N
PO⊥AB
PM⊥AB
即AB⊥POM
即AB⊥OM
同理可得
AC⊥ON
即A、M、O、N四点共圆
AO为其直径

有AO
＝MN/sinα

即AO
=√((PM）²+(PN）²-2cosαPM·PN)
/sinα

即PAcosθ
=√((PAcosβ）²
+(PAcosγ）²-2cosαPAcosβPAcosγ)
/sinα

即cosθ
=√(cos²β+cos²γ-2cosαcosβcosγ)
/sinα

得证

ps.
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CV10088620