老师只管怎么证明，而不管为什么要这么证明

牛顿382、老师只管怎么证明，而不管为什么要这么证明

拉格朗日中值定理的辅助函数是怎么来的呢？——网友提问

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~381》…

 

“需要各位指点一下 谢谢”网友补充说。

 

zdr0（编辑于2018-04-07 22:20，120人赞同了该回答）：

拉格朗日中值定理中，引入辅助函数，是为了满足罗尔定理。见下图

评论：

Cheryl（2018-08-08，9赞）：天啦天啦太谢谢你了呜…我看了一晚上数学书都没明白为什么把x＝a，x＝b带入g辅助函数就满足了罗尔的条件，看你的图和讲解一下就明白了！谢谢谢谢太谢谢你了！QAQ你拯救了我的头发！谢谢！

zdr0 （作者）回复Cheryl（2018-08-09，3赞）：哈哈哈哈，不用这么客气～

 

King（2020-02-21）：

怎么通过两个函数构造出来辅助函数。

我想证明拉格朗日中值定理，就要构造出一个定义域在所证明函数的定义域内的函数，证明这个函数符合罗尔定理，这个函数还要是关于所求函数的。

怎么求，我看书我也没看明白[哭×3]

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

一只小善良（2018-11-17）：请问，g（a）＝f（a）-y（AB）a＝0
是如何得出的呢？

King 回复 一只小善良（2020-02-21）：两个函数在同a点取值，函数值相同。

 

微笑（2018-11-02）：可以问一下不画图怎么证明辅助函数是连续且可导的吗？

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

 

古尔王回复微笑（2019-05-21，4赞）：初等函数天然连续

 

被建议改名（2021-09-21）：感谢答主提供的思想[飞吻×2]

…思、想、思想：见《欧几里得154》…

 

阿秦（2021-03-03）：看了之后醍醐灌顶，老师只管怎么证明，而不管为什么要这么证明，感谢答主[赞同×4]

马ma同学（2019-11-17）：谢了，终于明白了他们之间的联系。书上直接代值，半天没反应过来。

“Lagrange的目的是为了证明f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a） （1）

这个式子不方便构造新函数去满足罗尔定理，所以改一下：

f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0                       （2）

这下就很明显了。罗尔定理要找的函数最终是要得到g’（ξ）=0

而（2）式左端的函数刚好就是这个函数的导数：

g（x）=f（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·x

接下来验证一下罗尔定理的条件（左右端点函数值相等）：

g（a）=[bf（a）-af（b）]/（b-a）=g（b）

并且显然它可导，于是，根据罗尔定理，有：

g’（ξ）=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0     （3）

那么也就相当于证明了（1）式成立。

请看下集《牛顿383、拉格朗日中值定理证明里的逆向思维》”

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