问题引入

直接看题，如图1，△ABC内接于圆O，I为△ABC的内心，且AI⊥OI，求证AB+AC=2BC

条件中出现了内心，也出现了外心，对于初中生来说，似乎无从下手。

再分析求证，是典型的截长补短型求证，但是发现按照截长补短的思路无法正确使用内心和外心的性质。解题一度陷入了僵局......

下面我先来讲几个非常实用的结论帮助大家分析问题。

结论1：圆中的鸡爪模型

如图2，I为△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，则DB=DI=DC

这是一个非常实用的结论，简单得可以将这个结论概括为三角形任一顶点与其内心交其外接圆的交点，到内心和到另外两点的距离相等

它的模型也是相当好记的，看下图红色的线，是不是像一个鸡爪？

什么？不像吗？额......确实不是很像，但要知道，这个结论还没完，这三条线段还等于D到BC一侧的旁切圆的圆心，这个了解一下就好

下面给出证明

结论2：角平分线定理

这无疑是初中阶段最好用的公式之一，其结论为

这个定理相比大家都会用相似证明了，这里我介绍一个更加简单的方法--面积法

在介绍面积法之前，我们先介绍一个超超超超超超超超超超超超超超超超超超有用的公式--三角形的面积公式

当然，我要说的不是S=1/2ah，而是下面这个

这个我就不再证明了，想必聪明的你一定能够理解这个公式

下面进行证明

化成最后那种形式便于记忆

结论3：等比性质

等比性质在这里就不作赘述，详情可看https://www.zhihu.com/zvideo/1408868856446631936，或去百度一下

回归正题

好的，这些结论你都学会了，那么再看这题，你有什么想法吗？

△ABC内接于圆O，I为△ABC的内心，且AI⊥OI，求证AB+AC=2BC

思考留白（不会再继续看）

什么？还是没有？那么请看下图

看到这些辅助线，是不是有点感觉了，下面给出证明

写在最后

本篇文章中讲的结论还是挺多的，希望各位能够自行积累