质量和能量等价性的初等推导

撰文｜爱因斯坦（1946） 

翻译｜刘无慕（2022）

等价定律的以下推导以前没有发表过，它有两个优点。尽管它利用了狭义相对论的原理，但它并没有假定该理论的形式结构，而只用了三个先前已知的定律：

（1）动量守恒定律。

（2）辐射压力的表达式；也就是向固定方向运动的一组辐射的动量。

（3）著名的光行差表达式（地球运动对恒星表观位置的影响---布拉德利（Bradley））。

我们现在考虑以下的系统。让物体相对[坐标]系在空间中自由地静止。两组各有能量的辐射和分别在正的和负的方向运动，最终被吸收。

通过这种吸收， 的能量增加了。 因为对称性的缘故，物体相对于保持静止。

现在我们从[坐标]系来考察相同的过程，以恒定速度在负方向相对运动。对于来说，过程描述如下：

物体以速度沿着正方向运动。两组辐射的方向，在中与轴的夹角都是。光行差定律说，在一阶近似下 (原文中的表达式为，是笔误)，其中是光速。 根据中的考察， 我们知道的速度在吸收和后保持不变。

现在我们在坐标系中将方向的动量守恒定律应用到我们的系统。

I. 在吸收之前，设的质量为；那么就是的动量的表达式（根据经典力学）。每一组辐射的能量为，因此，根据麦克斯韦理论的一个著名结论，它具有动量。严格地讲这是相对于的动量。然而，当远小于时，相对于的动量是相同的，除了一个二阶小量外（与1相比）。这个动量的分量为或者为具有足够精度的或（除了一些高阶小量）。因此，和合起来具有方向的动量。因而，在吸收之前，系统的总动量为

II. 吸收之后，设的质量为。我们在这里预期质量会随着吸收能量而增加（为了使得最终的结果是一致的，这是必要的）。系统在吸收之后的动量为

我们现在假定动量守恒定律成立并将它应用到方向。这给出方程

或者

这个方程表明了能量和质量的等价性。能量增加与质量增加联系在一起。因为根据通常的定义，能量可以加上一个任意常数，我们可以选择这个常数使得

译者注：

此文最初发表在1946年的Technion Journal，标题为 An Elementary Derivation of the Equivalence of Mass and Energy。 这里译自爱因斯坦的《Out of my later years》, 125-128页。

爱因斯坦是在1905年在文章《Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content?》中推导出质能方程的。链接为：

https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/186

可能是因为观念太具有颠覆性，标题上加了问号。在1905年的文章中，爱因斯坦构造了一个和本文类似的思想实验：物体发射两组辐射；然后分析了运动物体在发射前后动能的变化。发现动能减少，速度不变，进而推导出质量减小。用到了多普勒公式来联系不同参考系中辐射的能量。 

多普勒公式和本文中用到的光行差公式其实分别对应着光子四动量的洛伦兹变换的时间分量和空间分量。郭硕鸿的《电动力学》就是采用的这种处理方式。

本文采用了大量的低速近似，但是在1905年的文章中只在最后一步用了低速近似。

说起质能方程，最容易想到的就是核反应。爱因斯坦本人也是这采用这种方式来解释，见视频：

https://www.bilibili.com/video/BV17W411779n

现在质量的单位“千克”是根据Taylor和Mohr在1999年提出的方案来定义的。利用质能方程和普朗克方程可以将质量和光子的频率联系起来。 一千克的质量对应的光子频率为赫兹。

更多关于质能方程的推导和解读可以参考Stanford Encyclopedia of Philosophy 中的条目The Equivalence of Mass and Energy。链接为：

https://plato.stanford.edu/entries/equivME/

另外，在微信中搜索“质量和能量等价性的初等推导”也可以找到这个翻译的版本。或者直接通过下方的链接查看：

https://mp.weixin.qq.com/s/rJnFzCdcKHReg6S-86eqaA