2023数分Day82(三重积分2：变量变换与球坐标变换)

一、整体感受：主要是计算不要算错，没有太大的思维难度

二、需要好好复习的

1、观察被积函数的形式以及如何准确画出区域（好好复习解析几何）。

2、对于三重积分的球坐标变换及广义球坐标变换要熟悉（柱坐标以及球坐标）

4、三重积分的对称性（奇偶性）的使用可以辅助，减少计算量（可见本节第三题）

三、具体题目

1（南京航空航天）

做法：

①观察积分形式以及区域，选择做广义球坐标变换；

②写出区域对应的新变量范围;

③算出Jacobi行列式；

④最后算一下积分即可（这里算一个积分需要利用到三角换元）

2（西南大学）

做法：

①观察：先观察曲面方程，发现不够标准，所以想要做变量变换；

再观察被积函数，发现出现了arctanz,这个函数求三重积分比较困难，所以想到可能涉及到对称性，猜测最后积分值可能是0

②做变量变换，写出新变量范围；再算出Jacobi行列式；

③利用V’关于uw平面对称，取-v代v，发现这是奇函数，最后积分值为0.

3（云南大学）

做法：

①观察区域，这是一个球体，就利用球面坐标变换；

再观察被积函数，发现有这么多项，必然会利用对称性。

②做球坐标变换，写出变量范围以及Jacobi行列式；

③利用对称性，最后算积分。（计算过程中可能涉及到Wallis公式，可以复习day81,学懂）

注：如果对称性不会用，仔细算也可以。

4（哈工大）

做法：

①做球坐标变换，算出变量范围以及Jacobi行列式；

②再将三重积分化为累次积分算；

③注意过程中会涉及洛必达法则以及导数定义凑出来；

注：这个被积函数中，根号下的是f(r),不是f(t)！！！！

5（武汉大学）

做法：

①先画图，画出V的范围，特别注意，这里x,y,z≥0不要忽视；

②再做变量变换（这里是观察到题干中两个方程具有对称性，想到换元，注意这里的）；

③再确定新变量的范围（这里有点难度，需要仔细看看）及Jacobi行列式；

④最后将三重积分化为累次积分做即可。

注：本题难点在于如何设好新变量以及新变量范围

本题设u=x+y+w,v=y,w=z，

然后再利用x=u-v-2w,y=v,z=w确定出来u-v-2w≥0，v≥0，w≥0，1≤u≤2，同时可得到1≤u≤2，0≤v≤u,0≤w≤1/2*(u-v)