这也许是计算量最小的做法了（2022乙卷圆锥曲线）

2022-06-15 14:02 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2022全国乙，20）已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过点 $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ 、 $B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C-1%20%5Cright)%20$ 两点.

（1）求 $E$ 的方程；

（2）设过点 $P%5Cleft(%201%2C-2%20%5Cright)%20$ 的直线交 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $%5Coverrightarrow%7BMT%7D%3D%5Coverrightarrow%7BTH%7D$ .证明：直线 $HN$ 过定点.

解：（1）设椭圆的方程为 $mx%5E2%2Bny%5E2%3D1$ ，

由题意得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%094n%3D1%5C%5C%09%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7Dm%2Bn%3D1%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ ，解得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%09n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

故 $E$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1$ .

（2）先猜后证，直线 $HN$ 过定点 $A$ .

如图，连接 $AP$ ，易知 $AP$ 平行于 $HM$ （这个很关键！）

设直线 $PN$ 与线段 $AB$ 交于点 $Q$ .

以 $%5Cleft%5C%7B%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPN%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 为基底，则

$%5Coverrightarrow%7BNA%7D%3D%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Coverrightarrow%7BPN%7D$ ，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%09%5Coverrightarrow%7BNH%7D%26%3D%5Coverrightarrow%7BMH%7D-%5Coverrightarrow%7BMN%7D%5C%5C%09%26%3D2%5Coverrightarrow%7BMT%7D-%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPN%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2MT%7D%7BPA%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPN%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2MQ%7D%7BPQ%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPN%7D%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

欲证 $N$ 、 $H$ 、 $A$ 三点共线，

只需证 $%5Coverrightarrow%7BNA%7D$ 与 $%5Coverrightarrow%7BNH%7D$ 共线，

只需证 $%5Cfrac%7B2MQ%7D%7BPQ%7D%3D%5Cfrac%7BMN%7D%7BPN%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7B2PQ-2PM%7D%7BPQ%7D%3D%5Cfrac%7BPN-PM%7D%7BPN%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7B1%7D%7BPM%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BPN%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BPQ%7D$ .

设直线 $PN$ 的参数方程为

$%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3D1%2Bt%5Ccos%20%20%5Ctheta%20%2C%5C%5C%09y%3D-2%2Bt%5Csin%20%20%5Ctheta%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ （ $t$ 为参数）

设点 $M$ 、 $N%0A$ 、 $Q$ 对应的参数分别为 $t_1$ 、 $t_2$ 、 $t_0$ ，则 $%5Cfrac%7B1%7D%7BPM%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BPN%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BPQ%7D%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt_2%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bt_0%7D$ .