题目:如图1,I是△ABC的内心,点P,Q分别为I在边AB,AC上的投影,直线PQ与△ABC的外接圆相交于点X,Y(P在X,Q之间),已知B,I,P,X四点共圆.

求证:C,I,Q,Y四点共圆.

思过程:已知B,I,P,X四点共圆,要证C,I,Q,Y四点共圆,同时A,X,B,C,Y在大圆上,先把涉及到的点练起来,方便倒角.

连接XB,IB,XI,IC,IY,YC,AX,AY.(如图2)

观察猜想,C,I,X共线.如果能证明这个结论,对倒角或找相似会有一定的帮助.

要证这三点共线,可以证明∠BIC+∠XIB=180°.

由内心性质,∠BIC=90°+1/2∠BAC.①

(∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠BAC)=90°+1/2∠BAC°)

由AI角平分线可知AP=AQ,结合B,X,P,I四点共圆,可以得到:

∠XIB=∠XPB=∠APQ=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC.②

①②相加即得结论.

有了B,I,C共线,就可以得到∠BAC=∠BXC=∠BXI=∠BPI=90°.

由此可以得到∠PIQ=90°,∠YQC=∠AQP=∠APQ=45°.

有了这么多角,可以考虑利用同弧所对圆周角相等来推C,I,Q,Y四点共圆.

那么我们可以试着证明∠YIC=∠YQC=45°.

由X,I,C共线,要证明结论,我们可以证明∠PIX+∠QIY=45°.

而∠QIY+∠QYI=∠PQI=45°.

因此,我们只要证明∠PIX=∠QYI.

又∠PIX=∠PBX=∠AYX,只要证明∠AYQ=∠QYI即可.

显然△AYQ≌△QYI(SAS),结论便可以得到证明.

下面给出证明过程.

证明:

∵I是△ABC的内心

∴∠BIC=90°+1/2∠BAC

∵IP⊥AB,IQ⊥AC

∴AP＝AQ,IP=IQ,∠APQ＝∠AQP

∵B,X,P,I四点共圆

∴∠XIB=∠XPB=∠APQ=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC

∴∠BIC+∠XIB=180°

即X,I,C三点共线

∴∠BAC=∠BXC=∠BXI=∠BPI=90°

∴四边形APIQ是正方形

∴∠YQC=∠AQP=∠APQ=45°,∠AQY＝∠IQY,AQ＝IQ

∴△AQY≌△IQY

∴∠IYQ＝∠AYQ＝∠ABX＝∠XIP

∴∠XIP+∠QIY=∠QIY+∠QYI=45°

∴∠YIC＝45°＝∠CQY

即I,Q,Y,C四点共圆

几何图像网址：https://www.desmos.com/geometry-beta/5ytzpg4o8f?lang=zh-CN

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