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第三章 微分中值定理与导数的应用

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导——

1. 如果在(a,b)内f'(x)>0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；

2. 如果在(a,b)内f'(x)<0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。
   

二、曲线的凹凸性与拐点

概念——

• 凹弧、凸弧：设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有

    ——那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧），如果恒有

    ——那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

• 内点：区间I的内点是指端点外的I内的点。

• 拐点：一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点，如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。
  

定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1. 若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2. 若在(a,b)内f"(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

找拐点：

1. 求f"(x)；

2. 令f"(x)=0，解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f"(x)不存在的点；

3. 对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在点x0，检查f"(x)在x0左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

第五节 函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法

定义：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于相应去心邻域有

——那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。

概念——

• 极值：极大值与极小值统称为函数的极值。

• 极值点：使函数取得极值的点称为极值点。

定理：

• （必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么f'(x0)=0。

• （第一充分条件）设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域
  

• （第二充分条件）设f(x)在x0处具有二阶导数且f'(x0)=0，f"(x0)≠0，那么

1. 当f"(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；

2. 当f"(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值。

找极值：

1. 求出导数f'(x)；

2. 求出f(x)的全部驻点与不可导点；

3. 考察f'(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

4. 求出各极值点的函数值，就得函数f(x)的全部极值。
   

二、最大值最小值问题

概念——

• 目标函数：在数学上有些问题有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。

求最值：

1. 由闭区间上连续函数的性质，可知f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在；

2. 如果最大值（或最小值）f(x0)在开区间(a,)内的点x0处取得，那么，按f(x)在开区间内除有限个点外且至多由有限个驻点的假定，可知f(x0)一定也是f(x)的极大值（或极小值），从而x0一定是f(x)的驻点或不可导点；

3. 又f(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得，比较极值和端点值的大小，得出最值。