MIMO检测-基于马尔科夫随机场的置信传播算法-非LLR形式

MIMO 检测(MIMO detection)，是根据接收天线接收到的数据，估计发射天线发送的数据。当然，这个问题的前提是信道系数已经知道。 我们假设信道是平坦衰落的，即发送的信号乘以一个复数增益，就是接收到的数据。

MIMO 检测有很多种方法，这个文档，我们想讲一下基于马尔科夫随机场(Markov Random Field， MRF) 的置信传播(Belief Propagration, BP)算法。

由于每个接收的天线都能接收到所有发射天线来的信号，因此，在接收到的每个信号，都可以给出每个发送符号的概率信息。因此，如果把每个发射信号都各看成一种需要估计的东西，那么这些估计之间是相互依赖的，这种依赖关系，是由接收天线得到的数据建立起来的。我们构造的马尔科夫随机场概率图模型中，是看不到接收到的信号的，是隐藏在后面的。例如，一个四根发射天线四根接收天线的系统如图一，对应的马尔科夫随机场如图二。

                                                                              



我们来推导一下全概率公式，即全概率的后验概率

其中 x 是发送数据的列向量， y 是接收数据的列向量， H 是 Nr x Nt 的信道系数矩阵。若 n 是高斯白噪声信号构成的列向量，则：

那么

其中，因为 x 是与 H 无关的，且 x 各个元素的取值也是相互独立的，则：

现在来推导一下  :

给定 x 和 H 后，y 是一个均值为 Hx，协方差为  的 复高斯随机向量。



我们把  展开:


其中  表示取实部的意思。

将公式 (2) 代入 公式 (1):

因为接收信号 y 和噪声 都是已知的，因此，可以令：


则可以把公式 (3) 简写为：

根据矩阵乘法的一般推导公式（见附件），公式 (4) 可以展开为：


其中

另外需要注意，在矩阵展开时，又引入了一些常数，因此公式 (5) 中的常数与公式(4) 中的常数是不同的，因此，我加了一个撇号做标记，以示不同。

综合上面的推导，公式 (0) 可以写成：


令：

根据马尔科夫随机场概率模型的相关定理（此处需要补充细节），从 i 到 j 的消息为：

公式(7) 中需要注意的是上标 t，这个表示迭代的轮次。第 t 轮的所有消息的计算，都是基于 t-1 轮的消息，要把所有消息都计算完毕之后， t-1 轮的消息才没有用了，t 轮的消息才变成 t+1 轮的输入。



则 最终关于变量  的概率信息（置信度）正比于：

通过比较   与  的大小 ，可以对  做判决。




代码（Matlab）

仿真的结果：

附录一：矩阵公式的推导

在文中从公式(4) 到公式(5)，这里面有点跳跃，现在在这里详细证明一下。

首先，令 ， 则我们需要分析的矩阵乘法是：
我们先计算后两个相乘的部分：

则

信道系数矩阵 H 的自相关矩阵 R 中，主对角线上的元素都是实数，没有虚部。

又由于我们假定是 BPSK，只有 +1 和 -1 两种取值，所以在上面的求和公式中，i=j 的部分可以单独拿出来   (-1)*(-1) =1,    1*1 =1 ：

这是与  无关的常量。



另外，当  时，因为 R 矩阵有共轭转置就是其自身的特性，所以：

珍惜环境，减少塑料垃圾进入河流海洋，谢谢了