【数学基础94】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
定理：非空有上界数集必有上确界；
定理：单调有界数列必收敛；
数列极限lim q^n=0，这里|q|<1；
柯西列：数列{an}为柯西列，即对任意小数ε>0，存在正整数N，对任意m，n>N，|am-an|<ε；
柯西准则：数列{an}收敛的充要条件是数列{an}是柯西列；
设lim an=a，若a>0，an>0，则lim an^（1/n）=1；
lim（1+1/n）^n=e；
定理：数列{an}收敛的充要条件是：{an}的任何子列都收敛。
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：设有不共面的三个向量a，b，c，将它们移到同一始点，则a，b决定一个平面，而c指向平面的一旁，将右手四指并拢与拇指分开，使四指向掌心弯曲的方向，表示从a的方向经过小于平角的转动达到b的方向，此时若拇指方向与c方向指向平面的同一旁，则称向量组{a，b，c}构成右手系，否则称为左手系；
直角标架/直角坐标系：设i，j，k是空间中以O为起点的三个向量，它们两两垂直并且都是单位向量，则O；i，j，k称为空间的一个以O为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O；i，j，k}；
右手直角标架/右手直角坐标系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}称为一个右手架标或右手直角坐标系；否则称为左手直角架标或左手直角坐标系；
直角坐标系的基向量：我们把i，j，k称为该直角坐标系的基向量；
仿射架标/仿射坐标系：如果我们不要求i，j，k单位长度且两两正交，只要求它们不共面，那么{O；i，j，k}称为空间一个以O为原点的仿射架标或仿射坐标系；
右手仿射架标/右手仿射坐标系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}称为一个右手仿射架标或右手仿射坐标系；否则称为左手仿射架标或左手直仿射坐标系；
仿射坐标系的基向量：我们把i，j，k称为该仿射坐标系的基向量；
坐标：O；i，j，k是空间的一个仿射坐标系（直角坐标系），则任意一个向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，称（x，y，z）为向量v在该坐标系{O；i，j，k}下的坐标，记为v=（x，y，z）；
点的坐标：设{O；i，j，k}是空间的一个以O为原点的仿射坐标系（直角坐标系），规定P点的坐标为向量OP的坐标，向量OP成为P点的定位向量或矢径，若P点的坐标为{x，y，z}，记为P（x，y，z）；
坐标轴/坐标平面/卦限：i，j，k所在的直线通常成为坐标轴或分别成为x，y，z轴，每两根坐标轴所决定的平面称为坐标平面或xOy，yOz，zOx坐标平面，3个坐标平面把空间分割成8个部分，称为该坐标系的8个卦限；
已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：
ab=a1b1+a2b2+a3b3；
|a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；
axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k；
距离公式：已知两点P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2），P1，P2两点间的距离|P1P2|为[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2]^（1/2）；
定比分点公式：已知两点P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2）.在P1P2上求一点P，使P分线段P1P2成两个有向线段的量的比P1P/PP2=λ（λ≠-1），设P=（x，y，z），则x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ），z=（z1+λz2）/（1+λ）.
设A=（aij）mxn，B=（bij）nxn，规定：
A+B=（cij）mxn，其中cij=aij+bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）；
A-B=（dij）mxn，其中dij=aij-bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）；
kA=（eij）mxn，其中eij=kaij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），且k为常数；
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
定义：n阶行列式|A|中，划去第i行和第j列，剩下的元素按原来次序组成的n-1阶行列式称为矩阵A的（i，j）元的余子式，记作Mij。
定义：令Aij=（-1）^（i+j）Mij，称Aij是A的（i，j）元的代数余子式。
定义：设A=（aij）nxn，则它的伴随矩阵A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij为|A|中aij的代数余子式。
矩阵的秩：设非零矩阵A=（aij）mxn，A中若存在一个s阶子式不等于零，一切s+1阶子式都等于零，则称A的秩为s，记为秩A=s或r（A）=s或rank（A）=s，若A=0mxn，则秩A=0，则A=0；
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；
克莱姆法则：设A是n*n矩阵，线性方程组Ax=B——
若|A|≠0，则方程组有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi为|A|中第i列换为B，其它各列与|A|相同的n阶行列式（i=1，2，……，n）；
对n维方阵A，若其行（列）向量线性相关，则|A|=0，若其行向量线性无关，则|A|不为0.
参考资料：
《数学分析》（华东师范大学数学系 编）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）
数学分析——
例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——
证明下述数列极限存在并求其值：设a1=2^（1/2），an+1=（2an）^（1/2），n=1，2，….
证：
由归纳法知（这个上界是使证明比较简单的一个取法）：an<2，有上界——
a1=2^（1/2）<2，
假设an<2，
则an+1=（2an）^（1/2）<（2*2）^（1/2）=2；
由1：2^（1/2）-an^（1/2）>0，同时易证，an>0，
则an+1-an=（2an）^（1/2）-an=[2^（1/2）-an^（1/2）]an^（1/2）>0，则an+1>an，数列单增；
由单调有界原理，数列{an}有极限，设为a，
则lim an+1=lim（2an）^（1/2），即a=（2a）^（1/2），a=0或a=2；
因为an+1>an>…>a1=2^（1/2），所以a>=a1=2^（1/2），于是，lim an=a=2.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
已知一个四面体的顶点为A（1，2，0），B（-1，3，4），C（-1，-2，-3），D（0，-1，3），求它的体积。
解：
A（1，2，0），B（-1，3，4），C（-1，-2，-3），D（0，-1，3），则
AB=（-2，1，4），AC=（-2，-4，-3），AD=（-1，-3，3）；
四面体体积为：
|（AB，AC，AD）|/6
=|（ABxAC）AD|/6
=|[1*（-3）-4*（-4）]（-1）+[4*（-2）-（-2）（-3）]（-3）+[（-2）（-4）-1*（-2）]*3|/6
=|-13+42+30|/6
=59/6.
高等代数——
例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——
设M是一些n阶方阵组成的集合，对任意A，B∈M，都有AB∈M和（AB）^3=BA，
证明：对任意A，B∈M，有
（A+B）^k=A^k+kA^（k-1）B+[k（k-1）/2]A^（k-2）B^2+…+B^k，（k>=2，k∈N）.
证：
证明M中元素满足交换律，已知对任意A，B∈M，都有AB∈M和（AB）^3=BA，
则BA=（AB）^3=（AB）（AB）^2=[（AB）^2（AB）]^3=（AB）^9，
AB=（BA）^3=[（AB）^3]^3=（AB）^9，
则BA=AB；
由归纳法：
（A+B）^2=（A+B）（A+B）=A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2，
若（A+B）^k=A^k+kA^（k-1）B+[k（k-1）/2]A^（k-2）B^2+…+B^k，则
（A+B）^（k+1）
=（A+B）（A+B）^k
=[A^（k+1）+kA^kB+[k（k-1）/2]A^（k-1）B^2+…+AB^k]
+[BA^k+kBA^（k-1）B+[k（k-1）/2]BA^（k-2）B^2+…+B^（k+1）]
=[A^（k+1）+kA^kB+[k（k-1）/2]A^（k-1）B^2+…+AB^k]
+[A^kB+kA^（k-1）B^2+[k（k-1）/2]A^（k-2）B^3+…+B^（k+1）]
=A^（k+1）+（k+1）A^kB+[k（k+1）/2]A^（k-1）B^2+…+B^（k+1），亦成立，得证。
到这里！
