《几何原本》命题1.46【夸克欧氏几何】

命题1.46：

可在已知线段上作一个正方形

已知：线段AB

求：在AB上建一个正方形

解：

过点A作AC⊥AB

（命题1.11）

在AC上截取

（命题1.3）

过点D作DE∥AB，过点B作BE∥AD，DE,BE交于点E

（命题1.31）

证明：四边形ADEB是正方形

证：

∵DE∥AB，BE∥AD

（已知）

∴四边形ADEB是平行四边形

（定义1.22）

∴AB=DE，AD=BE

（命题1.34）

∵AD=AB

（已知）

∴AB=AD=BE=DE

（公理1.1）

∵DE∥AB

（已知）

∴∠BAD+∠ADE=两直角

（命题1.29）

∵AC⊥AB

（已知）

∴∠BAD是直角

（定义1.10）

∴∠ADE也是直角

（公理1.3）

同理∠B也是直角

∵▱ADEB中，∟BAD=∠E

（命题1.34）

∴∠E也是直角

（公理1.1）

∵▱ADEB中，AB=AD=BE=DE，∟BAD,∟ADE,∟B,∟E都是直角

（已证）

∴在AB上的▱ADEB是正方形

（定义1.22）

证毕

此命题将在下一命题中被使用