小姚老师 | 1 函数概念与性质

1️⃣函数三要素

一、定义域

1. 具体

• √x：x≥0
• logₐᕽ：a,x＞0，a≠1
• 1/x：x≠0
• x⁰：x≠0

2. 抽象

①定义域：x

②括号范围不变原则

若f(x)的定义域为【0 , 3】，则函数y= f(x-1)的定义域为【1 , 4】

若f(2x+1)的定义域为【0 , 3】，则函数y= f(x)的定义域为【1 , 7】

二、值域

1. 同除法

分子分母都有单项式，同时除以这个单项式：变成对勾函数或二次函数

2. 换元法

二次除二次：分离常数

三、解析式

f后面是表达式，用t换元

f后面是函数，用待定系数法

• 设kx+b

f后面是等式，用方程法

• x替换成 -x 或 1/x

2️⃣单调性与奇偶性

一、单调性

2. 等价定义

∀x₁≠x₂

k = f(x₁) -f(x₂) / x₁-x₂ > 0，f(x)是增函数

3. 复合

f(g(x))：同↑异↓

4. 导数

>0增，<0减

二、奇偶性

1. 奇函数

f(-x) =-f(x)

f(x) =ln(√1+x² ±x)

f(x) =eᕽ -e⁻ᕽ

注意定义域：2 ≥ x > 2x-1 ≥-2

先判断奇偶，后判断增减

用图像的几何性质判断大小（距离）

奇函数，求导确定是增函数

eᕽ +eᕽ是定值

3️⃣对称中心应用

奇函数，坐标对称

对称中心（0，1），所以是-9

奇函数，增函数

分离常数，奇函数，对称中心

4️⃣函数性质扩展

f（）~f（）

一、和为常数：对称性

• f（a-x）= f（a+x）【x=a】
• f（a-x）= f（b+x）【x=a+b/2】

对称方程：括号相加 / 2

二、差为常数：周期性

• f（a-x）= -f（a+x）【对称中心（a , 0）】
• f（a-x）= -f（a+x）+b【对称中心（a , b/2）】
• f（x）= f（x+k）【T=k】
• f（x）= -f（x+k）【T=2k】

5️⃣双对称的周期结论

双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）

（1）如果函数f(x)有两条对称轴，则f(x)一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.

（2）如果函数f(x)有一条对称轴，一个对称中心，则f(x)一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.

（3）如果函数f(x)有在同一水平线上的两个对称中心，则f(x)一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.

把g(x) -f(x-4)替换成g(2-x) -f(-2-x) =7

6️⃣函数与导函数图像关系

原函数与导函数的对称结论：

（1）若f(x)存在导函数f'(x)，且f(x)有对称中心（a , b），则f(x)必有对称轴x=a .特别地，若f(x)为奇函数，则f(x)为偶函数.

（2）若f(x)存在导函数f'(x)，且f(x)有对称轴x=a，则f(x)必有对称中心（a , 0）.特别地，若f(x)为偶函数，则f(x)为奇函数.

（3）若f(x)有对称中心（a , b），则f(x)不一定有对称轴x=a；但若b=0，则f(x)一定有对称轴x=a .特别地，若f(x)为奇函数，则f(x)必为偶函数.

（4）若f(x)有对称轴x=a，则f(x)必有对称中心（a , b）.特别地，若f(x)是偶函数，则f(x)不一定是奇函数，只能f(x)关于（0 , b）对称，但b不一定是0.