【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep57】对Ep56一点步骤上的补充说明
结合朋友给予的反馈，对上次那一题做一点补充说明，增进大家对这道题的理解。
上一次那道复杂的习题最后涉及到一个方程的解——
“由上述分析以及迭代关系式，令k趋向于无穷大，即可得到关于a'与a"的方程组——
lim x2k=lim（c/2+x2k-1^2/2）=c/2+（lim x2k-1^2）/2，即a'=c/2+a"^2/2；
lim x2k-1=lim（c/2+x2k-2^2/2）=c/2+（lim x2k-2^2）/2，即a"=c/2+a'^2/2；
消去c：由1，c=2a'-a"^2，代入2，a"=（2a'-a"^2）/2+a'^2/2，化简得到，a"-a'=（2a'^2-a"^2）/2，提公因式，（a"-a'）（a"+a'+2）=0；
我们要找到数列收敛的c的范围，由数列收敛，得到a'=a"，而a"+a'+2的取值待定——
a.假如a"+a'+2=0，则a"=-2-a'；
b.又a"=c/2+a'^2/2，则-2-a'=c/2+a'^2/2，即a'^2+2a'+c+4=0；
c.因为a'与a"此时相等，而b中方程的解对应数列{x2k}与{x2k-1}的极限的取值，所以不存在相异解，即Δ=4-4（c+4）<=0，c>=-3；
d.若负项数列{an}收敛，则a"+a'+2当且仅当c=-3时为0，此时数列极限为-1，其余情况下，均不为0；
由此得到，当-3<=c<0时，原负项数列收敛。”
老碧又花了一夜时间，让基友们理解，为啥上述步骤4c是成立的。
老碧的一个朋友的观点，是很具有代表性的，Ta认为，方程a'^2+2a'+c+4=0有没有解无所谓，只要a'=a"即可。
实际上，在大多数类似的题目中，Ta的观点都是对的。
但是这一题之所以，不能够让这个方程有相异解的原因就在于，这是一个迭代数列，这里方程的两个解之间是具有联系，而非相互独立的。
我们做一个简单的推导即可证明4c——
如果方程a'^2+2a'+c+4=0有相异解，则Δ=4-4（c+4）=-4c-12>0；
那么由求根公式得到两个解，x1=[-2+（-4c-12）^（1/2）]/2=-1+（-c-3）^（1/2），x2=-1-（-c-3）^（1/2）；
那么，我们代入已知的a'与a"之间的关系来看，如果a'=x1=-1+（-c-3）^（1/2），则a"=c/2+a'^2/2=c/2+[-1+（-c-3）^（1/2）]^2/2=c/2+[1-2（-c-3）^（1/2）+（-c-3）]/2=c/2+[-2（-c-3）^（1/2）+（-c-2）]/2=c/2+[-（-c-3）^（1/2）+（-c/2-1）]=-1-（-c-3）^（1/2）=x2；
同理，如果a'=x2，则a"=x1，即方程的两个解，分别为数列奇数项构成的数列{x2k-1}、数列偶数项构成的数列{x2k-1}的极限；
所以，如果想要是a'=a”成立，当且仅当x1=x2=-1才行，这是方程a'^2+2a'+c+4=0有解的情况，即（a"-a'）（a"+a'+2）=0中，（a"+a'+2）能够取到0时的情况；
如果方程a'^2+2a'+c+4=0无解，即（a"-a'）（a"+a'+2）=0中，（a"+a'+2）恒不为0，那么显然当且仅当a'=a"时，该等式成立，故而，（a"+a'+2）恒不为0与数列收敛不存在明显冲突的条件，即，Δ=4-4（c+4）<=0，c>=-3，也就是我们要找的负项数列时，数列收敛时c的取值范围。
今天就到这里！
