【数学基础Ep7】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 编）》）——

求数列极限——

a.lim[1*3*5*……*（2n-1）]/[2*4*6*……*（2n）]

b.lim（1-1/2^2）（1-1/3^2）……（1-1/n^2）

c.lim[1/2+3/2^2+……+（2n-1）/2^n]

解——

a.

1. [1*3*5*……*（2n-1）]/[2*4*6*……*（2n）]

   ={{（1*3）（3*5）……[（2n-3）（2n-1）]（2n-1）}/{（2*2）（4*4）……[（2n-2）（2n-2）]（2n*2n）}}^（1/2）；

2. 易知（2n-2）（2n-2）>（2n-2）（2n-2）-1=（2n-3）（2n-1）；

3. 0<{{（1*3）（3*5）……[（2n-3）（2n-1）]（2n-1）}/{（2*2）（4*4）……[（2n-2）（2n-2）]（2n*2n）}}^（1/2）

   <{{（1*3）（3*5）……[（2n-3）（2n-1）]（2n-1）}/{（1*3）（3*5）……[（2n-3）（2n-1）]（2n*2n）}}^（1/2）

   =[（2n-1）/（2n*2n）]^（1/2）；

4. lim[1*3*5*……*（2n-1）]/[2*4*6*……*（2n）]=0.

b.

1. （1-1/2^2）（1-1/3^2）……（1-1/n^2）

   =（1*3/2^2）（2*4/3^2）……[（n-1）（n+1）/n^2]

   =（n+1）/2n；

2. lim（1-1/2^2）（1-1/3^2）……（1-1/n^2）=lim[（n+1）/2n]=1/2.

c.

1. Sn=1/2+3/2^2+……+（2n-1）/2^n；

2. 2Sn=1+3/2+……+（2n-1）/2^（n-1）；

3. Sn=2Sn-Sn=1+1+1/2+……+1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n

   =1+[1-1/2^（n-1）]/（1-1/2）-（2n-1）/2^n

   =1+2+1/2^n-（2n-1）/2^n；

4. lim[1/2+3/2^2+……+（2n-1）/2^n]

   =lim[1+2+1/2^n-（2n-1）/2^n]

   =3.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——设一直线上三点A，B，P满足AP=λPB（λ不为1），O是空间任意一点，求证：OP=（OA+λOB）/1+λ

证——

1. AP+PB=（λ+1）PB=AB，PB=AB/（λ+1），AP=AB-PB=λAB/（λ+1）

2. OP=OA+AP=OA+λAB/（λ+1）=OA+λ（OB-OA）/（λ+1）=（OA+λOB）/1+λ

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——包含3^（1/2）和5^（1/2）的最小数环为何？这个数环是否作成数域？

解：包含3^（1/2）和5^（1/2）的最小数环为{a+b*3^（1/2）+c*5^（1/2）+d*15^（1/2）|a， b， c， d是整数}——

1. 易得3^（1/2）和5^（1/2）是该数集的元素，以及该数集对加减乘封闭；

2. 另外，设P为包含3^（1/2）和5^（1/2）的任意一个数环，则[3^（1/2）]^2=3，[5^（1/2）]^2=5，[3^（1/2）][5^（1/2）]=15^（1/2）都是P的元素，则任何形如a+b*3^（1/2）+c*5^（1/2）+d*15^（1/2），a， b， c， d是整数的数都是P的元素，即R是P的子集。

由于该数集不包含有理数域，故R不能作成数域。