证明罗尔中值定理

牛顿375、证明罗尔中值定理

 

罗尔中值定理（百度百科）：罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…微、分、微分：见《牛顿321~336》…

…学：见《欧几里得4》…

 

罗尔定理描述如下：

如果R上的函数f（x）满足以下条件：（1）在闭区间 [a，b] 上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b）。

…R：real number（实数）首字母，代指实数…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

 

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

 

则至少存在一个ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

证明：

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

因为函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数f（x）在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

（常数的导数是0。

证明见《牛顿333》。）

 

2. 若M>m，则因为f（a）=f（b）使得最大值M与最小值m至少有一个在（a，b）内某点ξ处取得，从而ξ是f（x）的极值点。

又条件f（x）在开区间（a，b）内可导，得：f（x）在 ξ 处取得极值。

由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'（ξ）=0。

…费马引理：见《牛顿374》…

…驻、点、驻点：见《牛顿368》…

几何意义

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

 

若连续曲线y=f（x）在区间 [a，b] 上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A、B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

…切、线、切线：见《牛顿288》…

“如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a） 成立。

请看下集《牛顿376、拉格朗日中值定理》”

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