群是什么？能加吗？-MRN的抽象代数之旅（1）

前言：在去年读完周民强老师的《实变函数论》之后，因为沉（xiang）迷（zuo）于（nv）化（hai）学（zi），我有将近一年的时间没有选学过新的数学课程。直到今年六月，随着《抽象代数Ⅰ》的到手，我才有机会开启新的数学腌鹫（即研究，我数学老师的口头禅。-Dr.MRN）活动。这一系列的专栏将以概念的解释和值得腌鹫的有趣命题的证明为主。本人才疏学浅，文章中若有错漏，还望大家批评指正。

本系列文章需要读者对代数学和集合论有了解（知道名词意思就行）。

正文：

首先我们复习一下群的定义。

其次是两个接下来会使用的定理。

看完这些抽象的概念，你是否感到十分绝望？接下来我会通过三个命题，用尽量通俗的描述解决群论的问题的逻辑。

（本次讨论的问题选自[1]的课后习题，方法参考习题提示）

命题一：这是一个一眼看起来无从下手的问题。但是当我们对任一个不等于幺元的元素的生成的子群写出Lagrange定理，便可结合p是素数（注意中间步骤，利用素数的因数只有1和本身）直接得到结论。

命题二：这个命题直接证明很难，需要反证法。利用是否含有无限阶元素进行分类。在这里我直接构造出了G的无限多个子群，从而推出矛盾。

命题三：这是一个需要正面硬上的题目。直接通过计算表明有限阶元素满足前述定理的要求即可。这道题抛开群论背景就是初中计算题（大误）。

轻松一刻：群真的可以加，在群论中称为直和。当然，我知道你们感兴趣的不是这个群，想加的还是含有[数据删除]的群。比如（炒粉后援团737_410_140）

参考文献：

[1]赵春来，徐明曜.抽象代数Ⅰ.北京.北京大学出版社，2008