学不明白的数学分析（六十）
现在，我们正式进入数学分析的最后一部分内容——Fourier级数。
基本上，在介绍完Fourier级数以后，数学分析部分就结束了。历经半年多，终于将整个数学分析部分完完整整地给大家呈现了一遍。不同于一般教材的编写，在专栏里我其实是加入了很多自己的理解与想法。
比如说，为了便于大家理解问题，我加入了很多的引入想法，意在能够让大家不是生硬地背诵或者是将这些东西看做是没有什么依据的、不好联系的东西来学习，希望能利用自己的理解来让大家不是感觉到那么枯燥和难以接受。
又比如，在很多内容的介绍方面，我选择了改变形式与顺序，将不重要的内容略过，突出重点。并且为了突出内容之间的联系，不同于一般教材编写的顺序，我打乱了很多内容。同时，一些通常教材上一定会有的内容，较为基础又比较锻炼思维的，我都放到了思考里，让大家能够自由地去练习。
再比如，为了能够保证内容的全面性与连贯性，我还在专栏里补充了很多的内容，包括重积分换元部分，还有很多内容中引用一些其他大佬的思路，便于大家吸收。
总而言之，还是比较希望大家能够真的学到很多东西，也可以说是我所做的这些事情有真的帮助到大家~
Chapter Seventeen Fourier分析
17.1 周期函数的Fourier级数
Fourier级数的产生，其实很大程度上来源于物理学的需要。发明这一级数的Fourier本人，其实就是一位物理学大佬。Fourier的主要工作领域似乎是热传导方向，传热学中的Fourier定律就是出自这位之手。
那么，Fourier定律能够用来解决什么样的物理问题呢？
学过或者未来要学到信号与系统的小伙伴就比较会有感触，因为这们课程基本上就是围绕着Fourier分析展开的。事实上，Fourier级数与Fourier分析，主要能够针对的，就是周期现象（这是指狭义Fourier级数，当我们介绍过着一章的全部内容后，我们会看到广义的Fourier级数），因为Fourier级数的通项就是含参数的三角函数。基于三角函数的周期性，Fourier级数就能够很好地刻画许多周期现象。
物理学中比较明显的周期现象，就是简谐波。具体的物理细节我们不去讨论，我们只要知道，简谐波是可以叠加的，从而也可以拆分。那么我们就要想，对于一个一般的简谐波，我们怎么能够将其拆解为一系列简谐波的和呢？换句话说，一个周期函数如何能被表达成：
这样的形式呢？更进一步，这一函数能否被表达成：
这一级数的形式呢？
这就是这一章我们要研究的问题。
由于三角函数的一般周期是2π，而对于任何周期不是2π的周期函数而言，我们只要做变换：
就能将周期转换为2π，从而，我们只需要讨论周期为2π的周期函数的展开即可。一般，我们都考虑区间上的函数。
在目前的讨论当中，我们暂不考虑收敛性，或者假定右侧级数已经一致收敛。此时，这一三角级数就有了良好的分析性质。我们可以借助这些性质来求解三角函数项前的系数。
由于系数本身是只关于n的数，因此我们想办法通过一些手段将其与函数项分离开来，或者直接消除函数项。考虑到我们过往所学到的各种基本内容，不难想到求和或者求积分可以做到这一点。于是，我们考虑：
现在的问题就是计算等号右侧最后的各项积分。不难证明：
类似地，还有：
以及：
其中，是Kronecker符号。我们将这样的性质称为正交性。这一性质的名称正是类比于向量当中的正交性，积分相当于是求函数间的内积。有了这样的一个性质，我们就说，三角函数系是一个正交函数系。
利用正交性结果，我们就不难得到：
另外：
记：
我们将右侧的级数称为周期函数的Fourier级数，对应的函数项系数为Fourier系数。
我们上述的结果是建立在我们假定Fourier级数一致收敛的前提条件下的，但是实际上是否真的满足这一条件，一般而言是未必的。为了能够应用我们的结果，我们先要来考虑，什么时候Fourier级数有希望一致收敛。
由我们在函数项级数的部分的内容，我们知道，若要函数项级数一致收敛，那么首先要满足：
（表示一致收敛）
而由于三角函数本身并不一致收敛到任意函数，甚至是任意不收敛的，所以我们很大程度上寄希望于Fourier系数能够满足这一条件。Riemann-Lebesgue引理表明，Fourier系数确实满足这一条件：
设函数在
上可积，
是周期为T的非负可积函数，则：
更一般的条件如下：
设函数在
上可积，
是周期为T的非负可积函数，则：
我们讨论过反常积分后，知道可积的概念可以推广，那么对于反常积分而言，这一引理也对应成立，即：
设函数在
上反常绝对可积（简称绝对可积），
是周期为T的非负可积函数，则：
这三个定理统称为Riemann-Lebesgue引理，可以看到，第一条实际上是第二条的特殊形式，而第三条则更为广泛。
考虑到Fourier系数的形式，显然能够从引理当中得到它们是收敛于0的，因此由Weierstrass控制判别法，我们就知道通项是一致收敛到0的。
最后，我们指出，我们目前所做的，都只是关于函数在某一周期区间内展开成Fourier级数的讨论。事实上，这样的展开在任何一个周期区间内都成立，而在不同的周期区间内的展开表达式未必一样，但总是可以统一的。
而当我们求出一个选定周期区间内的Fourier级数，我们就可以将其平移到各个对应周期区间内而不加任何变动。
思考：
证明三角函数系满足正交性；
证明Riemann-Lebesgue引理的第二条，并尝试了解并理解第三条的证明；
证明：n次三角多项式：
的Fourier级数就它本身；
求下列函数在指定周期区间内的Fourier级数：
（1）
（2）
最後の最後に、ありがとうございました！
