有无相生、长短相形（数学之美）

这才是罕见的有质量的好试卷。知识考察基础灵活，题型设计新颖陌生，背景关联深刻丰富，五育并举中西合璧、古今贯通、文理兼容。(底部附图片版文件）

第一题，考察集合的概念、空集意识，涉及公理化集合论中由空集归纳定义整数集的深刻背景，涉及“有之以为利，无之以为用”“名可名，非常名”的传统哲学思想。

第二题，考察三角函数的值域、图像变换法则，涉及“前后相随”的传统哲学思想。（改编自某周练）

第三题，考察二面角的平面角，应用得基础、新颖、实际。应用于体育、美育。

第四题，可能考察了双曲线的对称性，涉及复数乘法几何意义的深刻背景，涉及弦图的传统文化。应用于美育。

第五题，考察幂函数过定点，涉及反函数、函数迭代、函数方程、指对同构的深刻背景，涉及“相为倚伏”的传统哲学思想。（刘神命题）

第六题，可能考察了倍角公式，涉及“无中生有”的传统哲学思想。

第七题，考察数列的单调性、乘法计数原理，涉及二项分布、整数集的极值的深刻背景，涉及“丘夷而渊实”“高下相形”的传统哲学思想，应用于体育、劳育。

第八题，考察双曲线渐近线的定义，涉及“长短相形”选取参考系从相对大小、形状刻画图形的深刻辩证思想。

第九题，可能考察了基本不等式的取等条件、极值点的判定，涉及多元函数极值、微积分的深刻背景，涉及物理学背景。

第十题，考察了数量积的投影意义、旋转体的定义，涉及逻辑对等性推理、球极反演的深刻背景，涉及“阳马”的传统文化。（改编自21级重庆一诊12）

第十一题，考察了绝对值函数图像、两点确定一条直线、方差和均值的定性判断，涉及了无穷小与无穷大的定义的深刻背景，涉及相对大小、改变视角的传统哲学思想，涉及数据结构与算法的学科背景。（刘神命题）

第十二题，考察几何体的基本计算，涉及球面几何的深刻背景，涉及割圆术传统数学文化及其思想。

第十三题，考察“第三定义”即点差大法，涉及仿射几何仿射变换、射影几何笛莎格定理的深刻背景，涉及“透视原理”的数学文化。应用于美育。

第十四题，可能考察了复数取模运算、复数的几何意义、阿氏圆，涉及调和四边形的深刻背景。

第十五题，考察了最小二乘法及其推导方法，涉及物理学学科背景。

第十六题，考察了数列找规律、等差数列、加法交换律，涉及数学归纳法的深刻背景，可能涉及初等数论的深刻背景，涉及“螺旋式上升”哲学学科背景。应用于德育。（改编自18级高联二试四）

第十七题，考察常数列、不等式的传递性，可能考察了加法结合律，可能涉及高阶无穷小、二次型化标准型的深刻背景。（改编自20级高联二试二）

第十八题，可能考察了数量积的投影意义、空间垂直证明、垂心，涉及垂径定理、球极反演的深刻背景。

第十九题，可能考察了正弦定理、积化和差，涉及选取参考系刻画图形相对关系的辩证思想。（改编自04级高联二试一、19级全国二卷22）

第二十题，情景贴合考生生活实际，考察条件概率、数学期望、语言表达能力，涉及行列式乘法的深刻背景。

第二十一题，考察向量数量积、设点或设线的基本方法，涉及参数方程、光学性质、调和四边形、丹德林双球模型、反演变换的深刻背景。（改编自21级全国二卷20）

第二十二题，考察函数单调性、导数与零点，可能考察了集合的关系、隐零点，涉及指对同构、函数的映射本质的深刻背景。（改编自22级极光杯（四）22）

加试

第一题，考察全等、内心、四点共圆、抛物线定义，涉及光学性质、极点极线的深刻背景。

第二题，考察极点极线、完全四边形、笛莎格定理、帕普斯定理。

第三题，考察椭圆的定义及光学性质、全等、调和四边形、密克尔点、托勒密定理，是蒙日圆的推广，涉及数学文化。

第四题，考察旋转位似、四点共圆、几何不等式，涉及光的折射定律即费马原理的物理学学科背景。

第五题，考察圆的切线、勾股定理、三角函数有界性、不等式传递性、整数离散性，涉及交变磁场的物理学学科背景。

第六题，考察重心、垂心、蝴蝶定理、内心、相似、四点共圆，考察了小结论:垂心（外翻点、对径点）、内心（鸡爪、竖线、北极相似、伪切点）、南极点，是重、垂、内心与等腰梯形点的综合关系。涉及了反演、极点极线的深刻背景。