一种勾股数的研究

    

    勾股数指的是满足不定方程x²+y²=z²的正整数。我们常见的有：

【3,4,5】【6,8,10】【5,12,13】【7,24,25】……

抛开【6,8,10】，因为这可以从【3,4,5】产生，我们来观察其余三组勾股数。发现它们有一下特点：

1.最小的数是一个奇数

2.其余两个数是连续的

3.一个偶数两个奇数

于是我们想到，是否存在其他的勾股数满足以上三个规律。

尝试一下，比如设一组勾股数中最小的数是9，另两个数为x和x+1，那么根据以上规律，得到方程

9²+x²=(x+1)²，解得x=40.

于是【9,40,41】成为满足上面三条规矩的第四组勾股数。

那么，这些勾股数有没有什么一般规律呢？

既然最小的数是一个奇数，不妨设这个数是

(2n+1)，其中n∈N

那么，我们又得到方程

(2n+1)²+X²=(X+1)²，其中X为我们要寻找的多项式。

容易解得X=2n(n+1).

也就是说，【2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1】是上面勾股数的一般形式。

当n=0时，上面的公式计算出【1,0,1】这显然是不满足勾股数的定义的。因此在上面的公式中，n∈N+。

对于一组勾股数，它的正整数倍也依然是勾股数（比如【3,4,5】和【6,8,10】)，因此，上面的公式还可以扩展为

【k(2n+1),k[2n(n+1)],k[2n(n+1)+1]】，其中

n,k∈N+。

对于其他形式的勾股数的研究涉及不定方程的相关知识，up水平有限，不能深入研究，希望有大神能够补充。