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如何通过三维动画理解旋转曲面

2023-07-06 15:17 作者:马同学图解数学 0人读过 | 我要投稿

空间解析几何中,旋转曲面的研究是个重点。《高等数学》教材里，要求掌握的旋转曲面又很多，在不理解的情况下，很难想象出这些曲面是如何通过旋转得到的。本文就会从图像入手，给出旋转曲面的生成动画，帮助同学们建立直观。

1 旋转曲面

定义 . 某平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面（Rotational surface），该平面曲线称为旋转曲面的母线（Generating line of rotational surface），该定直线称为旋转曲面的轴（Axis of rotational surface）。

比如在下图中，左侧是 $hello$ 面内的某曲线，右侧是将该曲线作为母线，绕 $hello$ 轴旋转一周得到的旋转曲面。

将左侧 $hello$ 面内的某曲线作为母线，绕 $hello$ 轴旋转一周后得到右侧的旋转曲面

2 旋转曲面的方程

下面详细推导下 $hello$ 面上的曲线 $hello$ 绕 $hello$ 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，其它的情况可自行举一反三，后面的例子中也会有所涉及。

以下图为例，其中有 $hello$ 面上的曲线 $hello$ 及其上的任一点 $hello$ ，以及曲线 $hello$ 绕 $hello$ 轴旋转一周所成的某旋转曲面，还有 $hello$ 点旋转后所得的该旋转曲面上的任一点 $hello$ 。

设曲线 $hello$ 的方程为 $hello$ ， $hello$ 点的坐标为 $hello$ ， $hello$ 点的坐标为 $hello$ ，可推出：

因 $hello$ 点为曲线 $hello$ 上的任一点，所以有 $hello$
因 $hello$ 点由 $hello$ 点绕 $hello$ 轴旋转所得，该变换过程不会改变 $hello$ 坐标，所以有 $hello$
因 $hello$ 点由 $hello$ 点绕 $hello$ 轴旋转所得，该变换过程也不会改变和 $hello$ 轴的距离，所以 $hello$ 点与 $hello$ 轴的距离 $hello$ 等于以 $hello$ 点与 $hello$ 轴的距离 $hello$ ，如下图所示。

从而可以推出：

$hello$

综上，所以有：

$hello$

也就是说， $hello$ 满足方程 $hello$ 。因为 $hello$ 点是旋转曲面上的任一点，所以 $hello$ 也是该旋转曲面的方程。

3 旋转曲面的例子

3.1 圆锥面

如下图所示，左侧是 $hello$ 面内的某直线，右侧是将该直线绕 $hello$ 轴旋转一周所成的旋转曲面，称为圆锥面（Cone surface）。

$hello$ 面内的某直线方程可写作 $hello$ ，其中 $hello$ 为该直线的斜率。根据上面的分析，将其中的 $hello$ 改写为 $hello$ 就得到了该圆锥面的方程，即：

$hello$

3.2 旋转单叶双曲面

如下图所示，左侧是 $hello$ 面内的某双曲线，右侧是将该双曲线绕 $hello$ 轴旋转一周所成的旋转曲面，称为旋转单叶双曲面（Hyperboloid of one sheet）。

$hello$ 面内的某双曲线的方程为 $hello$ ，其中 $hello$ 、 $hello$ 为常数。根据上面的分析，将其中的 $hello$ 改写为 $hello$ 就得到了该旋转单叶双曲面的方程，即：

$hello$

3.3 旋转双叶双曲面

如下图所示，左侧是 $hello$ 面内的某双曲线，右侧是将该双曲线绕 $hello$ 轴旋转一周所成的旋转曲面，称为旋转双叶双曲面（Hyperboloid of two sheets）。

$hello$ 面内的某双曲线的方程为 $hello$ ，其中 $hello$ 、 $hello$ 为常数。根据上面的分析，举一反三，将其中的 $hello$ 改写为 $hello$ 就得到了该旋转双叶双曲面的方程，即：

$hello$

3.4 旋转抛物面

如下图所示，左侧是 $hello$ 面内的某抛物线，右侧是将该抛物线绕 $hello$ 轴旋转一周所成的旋转曲面，称为旋转抛物面（Rotational paraboloid）。

$hello$ 面内的某抛物线的方程为 $hello$ ，其中 $hello$ 为常数。根据上面的分析，将其中的 $hello$ 改写为 $hello$ 就得到了该旋转抛物面的方程，即：

$hello$

本文内容节选至《马同学图解数学》系列课程：

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