引言

先说一下做这个专栏文章的缘由。

简单翻了翻，查了查，在网上，到目前为止，我就没见到哪篇中文的文字，实实在在地把这事给完全说清楚了的。

那些听风就是雨，自以为是，刚见着个新词就拿着到处危言耸听的……还是不说了。

还有一些试图给出这个定理的严格证明的，基本上就是某本教材或某篇论文上的搬运工兼翻译机，虽然说确实是严格证明了，但也仅此而已。在原证明或论文中，那些作者认为连“显然”、“易得”都不用写出来，但对理解证明很重要的一些思考过程，在这些中文的文字里，也一并省略了。当然也有将这些证明时的思路说出来的，但你反复读几遍后，会发现很多东西还是得靠自己悟。

事实上，在微观经济学教科书里的情况也差不多是这样。初级乃至中级的微观经济学教科书里，只会简单地提及，自然也就没有证明；高级微观经济学教科书当然给了，但怎么写省事儿怎么写，至于说，这一步怎么就到那一步了，这么简单几步怎么就得到结论了，这些问题的说明就全靠上课老师，甚至学生自己的悟性了，反正对肯定是对的，你把它背下来再抄一遍肯定也是没问题的。

但对于相关的爱好者们来说，他们上哪找老师？上哪找慧根？因而，这些内容主要是为他们做的。首先说清楚，这里对观众知识的要求大约是高中数学水平。准确地说，你只要知道集合是什么，知道集合的交并补运算是在干什么，知道映射是什么，能理解n维空间和多元函数的存在，就够了。另外，在这里为了方便，映射很多时候就直接说成函数了，高中的读者还请注意这俩概念的区别。当然了，如果你对于集合论有更深入了解的话，可能会更加容易跟紧证明的思路，但对在此之上的预备知识是没有要求的。

再来粗略说明一下阿罗不可能定理的相关内容。

阿罗不可能定理大致说的是，关于一个社会偏好（解释见后文），不可能同时满足6种性质。当然证明时一般只着重讨论4个，另外2个算作暗含条件。

注意，定理说的只是这6种性质不能同时满足。事实上，抛弃掉任意一种性质后，其他5种性质都是可以共存的（太懒，不证明不举例了）。所以很多对阿罗不可能定理的普及性介绍都不能直接拿来进行深入思考的，因为它们可能连这6个性质都没给全。

此外，很多普及性的介绍经常采用举例子的方式说明阿罗不可能定理。这个的好处就是便于深入思考，但坏处就是具体例子性质太多，容易让人迷失其中，找不到问题的关键所在。比如经常被拿来举例的康多塞悖论（详情可以自己百度），它是阿罗不可能定理的一种特殊情形，阿罗不可能定理可以解释它，但不是它在投票人数大于3时的简单推论。定理的很多其他重要方面，单看这个例子是看不到的。

另外，虽然严格说来，证明这个定理时，是要肯定其中任意（而不是特定）5个性质，从而得出剩下的那个性质必然不存在的，但实际证明过程中，剩下的那个等着被否定的性质，都是选的“不存在独裁（解释见后文）”这个性质，其他情况都不证的。而上面提到的康多塞悖论，最后否定的是“社会偏好理性”这个性质，这与一般的定理证明过程不同。为效率起见（就是懒），这里的“严格证明及详细说明”也只考虑否定“不存在独裁”这一情况。

最后说一下关于证明的选择。

时至今日，阿罗不可能定理的严格证明当然不止一种。我目前完整见过的，有4种，阿罗最开始给出的证明1、MWG微观经济理论上的证明2、Jehle和Reny的高级微观经济理论第三版上的证明3、田国强2003年高微讲义上的证明4。当然，还有个小论文，2004年JohnGeanakoplos写的，专门讲的这个定理的三个简洁证明，其中第一个证明同证明3，另外两个证明思路与证明3也大致相同，有兴趣的可以搜一下。

正如上面所提到的，这些证明多多少少都有些不舍得说人话。其中，阿罗的证明1当然最好懂了，但他当时想说的东西很多，与其他的专门证明相比，这个证明就显得相对有些零散、琐碎；证明2和证明1证明的证明框架大致一样，并且更加紧凑，并开始在某些重要部分省略解说；证明3是我目前所见网上流传最多的版本（在最开始假设一个投票选项A，然后所有人要么把它排第一，要么把它排倒数第一），简单是简单，但它引入了一个投票顺序的问题，这个问题不是很容易说清的；证明4，在这4个证明里面内容最少，也是最不说人话的，给你证了三个引理后，“显然”都懒得说了，定理就直接给成立了，我怀疑这就是在赤果果地炫技。

所以，综合来看，我选择证明2作为此次证明的主要内容，以此为基础做一些必要的补充说明。其他几个……我先把这个弄出来再说吧，说不定这个都鸽了呢？

 

预备知识

首先是基本的一些描述和定义。

为方便起见，下面有些大写字母，既代表了集合名称，又代表了集合元素个数。

假设你要吃早餐，而现在你有X种主食可供选择（吃面包、吃米饭、吃米粉……）。你会怎么选择呢？

微观经济学认为，这些东西，在你心中存在这一个排序，或者说是偏好P（比如：吃面包优于吃米饭优于吃米粉），然后在一定的限制下，你会选择最为偏好的那个主食。

事实上，微观经济学一般认为，如果把所有这些需要进行选择的东西看作一个集合X，那么你的个人偏好P，是关于这个集合的一种二元关系（选择时，至少要有两个元素才叫选择，对吧？）。

如果给你x和y，你倾向于，也就是偏好于选x，则记为xPy（如：吃面包P吃米饭）。这里看起来似乎用大于等于符号更容易理解，但因为种种复杂原因，这里只用P来表示。

此外，经济学一般还假设你的偏好满足两个性质：

完备性：对于任意两个集合元素x和y（两个元素可以相同），都有一个偏好关系，即一定有xPy或者yPx。

传递性：如果已经知道xPy，以及yPz，那一定有xPz。此时你的这一偏好关系也可以写作xPyPz。

从上面可以看到，对于X种商品，偏好关系就像X维坐标或向量一样的东西，不同之处只是把括号去掉了，把逗号都换成了P。所以，对于一个人来说，他的偏好关系类似于X维空间里的一个元素（点）。

接下来，假设现在整个社会上有I（字母i大写）个人，让他们每个人i，对X（X≥3）种备选物，给出自己的偏好Pi（i=1,2,…,I）；然后我们再根据所有这些偏好，试图按照一定的规则F（P1,P2,…,PI），合成一个的关于这m种备选物的偏好P。这个偏好就叫做社会偏好。

为什么要搞一个这个社会偏好呢？因为人们想要研究，对于一个特定的社会整体来说，哪些选择，可以让社会整体的福利更高。这些选择也就是社会更偏好的选择。而这个从所有人各自的个人偏好中合成出一个社会偏好的规则F，就叫社会福利加总器，或社会福利泛函数（后面可能多简称为函数）。

现在我们关心的就是这个F的性质。

这里先给一个具体的例子吧。不过在给出具体例子之前，先说一下关于这个函数F的两个暗含性质：

1、全域定义域：F的定义域是所有有可能的个人偏好组合。当然，所有的个人偏好都满足完备性与传递性。

虽然这里不会多提，否定这个条件，比如设定所有人都是单峰偏好（详情自行百度），是解决阿罗不可能定理所产生问题的重要方向。

另外，实际的参与者集合I的元素个数是有限的。这一点需要特别注意。

2、社会偏好理性：对于每种个人偏好的可能组合，根据这个F形成的社会偏好，必须同时满足完备性和传递性。

现在我们以波达计分为例简单说明一下。

现在让你给X个物品根据偏好排序。然后，你对最为偏好的东西计分为1，第二偏好的东西计分为2，以此类推，直到最后，你最不喜欢的东西计分为X。

现在有I（字母i大写）个人，每个人都按上述方式，根据自己的偏好来进行打分。然后，对每个物品，将所有人对它的评分加总求和，得到每个物品各自的总评分。然后按照总评分从小到大的顺序排列，这个顺序就是波达计分机制F下的社会偏好。

比如你对x、y、z的评分依次是2，3，1，另一个人的评分依次是3，1，2，那你们的总评分依次是5，4，3，于是你们两个人形成的“社会偏好”是zPyPx。

现在我们再来说一下其他几个性质，这些性质，或者说条件，再加上上面的“隐性”条件，是我们希望F能够同时满足的：

3、备选物/备选方案至少有3种。

虽然感觉很多时候备选方案就俩……

4、帕累托性质条件：对于任何一对备选方案{x,y}，如果对所有人都有xPiy，则一定有xPy。

简单来说，就是“全票通过”了。比如上面关于波达计分的例子，你是zPx，另一个人也是zPx，如果规则F满足帕累托性质，则最后的社会偏好也应该是zPx。从这一点来看，波达计分是满足了帕累托性质条件的。

5、配对独立性条件（不相关方案无关性条件）：对于任何一对备选方案{x,y}，以及对于任何一对满足以下条件的个人偏好组合(P11,P12,…,P1I)和(P21,P22,…,P2I)：

对于任何i，xP1iy和xP2iy是相互等价的，yP1ix和yP2ix是相互等价的。（也就是说，对于同一个人，x和y的相对偏好关系不变，其他的相对偏好关系可能发生变化。）

则，我们都有：

xP1y和xP2y是相互等价的，yP1x和yP2x是相互等价的。（也就是说，在这两种不同的个人偏好组合，它们所对应的社会偏好里，x和y的相对偏好关系一定不会发生变化。）

这个条件是这6个条件里面最诡异、最复杂，同时也是最容易被科普省略掉的一个条件。

同样拿上面的波达计分举例。

在上面，你是zPy，另一个人是yPz，而最终的社会偏好是zPy（y为4分，z为3分）。

现在，你对x、y、z的评分依次变成了3，2，1，另一个人的评分仍然依次是2，1，3。注意，此时你是zPy，另一个人是yPz。而此时那你们的总评分依次是5，3，4，于是你们两个人形成的“社会偏好”是yPzPx。也就是说，在每个人对y和z的相对偏好不变时，社会偏好相对于x和y却发生了改变。因此，波达计分不满足配对独立性条件（不相关方案无关性条件）。

有三个方面可以为这个条件进行辩护。首先，在确定x和y的社会偏好关系时，其他方案的存在与否于此无关，在此无足轻重。这听起来确实是一个比较合理的规范性要求。其次，这便于我们处理问题，在考虑某对备选方案的社会偏好关系时，不用再额外考虑其他的个人偏好信息。至于第三点，它和机制设计的激励问题有关，这里暂时不多谈。

 6、不存在独裁。

关于这个条件的定义是反过来的，即先通过定义独裁，然后取这个定义的反面作为这个条件的定义（严格来说是取否命题，但事实上似乎没人取过……）

独裁：存在一个参与人h，使得对任何备选方案{x,y}和任何个人偏好组合(P1,P2,…,PI)，当xPhy时，社会也认为x比y好，即xPy。

于是，阿罗不可能定理的正式表述就出来了：

阿罗不可能定理：假设至少有3个备选方案，个人组合的定义域为全域。那么每个满足帕累托性质和配对独立性条件的社会福利泛函数F是独裁的。

下面是正式开始证明。

证明

MWG的证明，引进了3个新定义，总共分了10步，但说得还是不够清楚。这问题的来源嘛，一是对配对独立性条件的应用说的比较含糊，说清楚了的话，可以一口气看到第4步；二是对新定义的解释不足，还容易让人误解，这一点也给看清楚了的话，可以一口气直接看到第8步；三是对第9步的解释不足，当然这主要还是因为前两点，但第9步的证明可以说是整个证明过程中最为关键的一步，一旦理解清楚了的话，会感觉整个证明过程都非常明了清晰了。

再次说明一下，从现在起，为方便起见，将I不仅视为参与人的数量，也视为参与人集合。对于整个证明，我们使用一个满足帕累托性质和配对独立性条件的固定社会福利泛函数F。我们先给出一些定义。注意，在下面，当我们说配对方案时，指得是不同的方案组合。

先是新定义：

给定F，对于参与人集合I的一个子集S，

（i）如果当S中的每个人认为x比y好且S之外的每个人认为y比x好，且此时社会认为x比y好时，那么我们说S决定了x比y好。

（ii）如果对于任何一对备选方案{x,y}，S都决定了x比y好，那么我们说S是决定性的。

（iii）如果当S中的每个人认为x比y好，且此时社会认为x比y好，那么我们说S完全决定了x比y好。

如果你拿上面这个定义和MWG的中文版翻译对比，会发现有些细微的不同。比如第一条定义，MWG的中文版翻译说的是，如果当(S中的……)，导致（社会认为……），……。

这里有个观念的问题。

事实上，在英文原版的这个定义中，是没有“导致”这个概念的。换句话说，只要此时S、S在I上的补集I\S以及社会偏好P三者可以同时满足条件时，就可以说S决定了x比y好。

事实上，在田国强2003年的高微英文讲义里，关于这个概念，同样用到了“导致”，准确地说是“推出（单箭头）”这个说法，不知道是不是一种思想上的巧合。实际上这样处理是有一定好处的，它强调了是F的存在产生了这种性质，便于理解定义与F的联系。但它的问题也在于，它预设了一种关系的存在，但这种关系对证明过程而言并不是必要的。

再回到第一个定义。这个定义是什么意思呢？

首先我们要明确的一点是，要将参与人集合与F的定义域——个人偏好组合(P1,P2,…,PI)的集合，分别开来。这一点非常重要，因为很多人会无意中将S当作一种个人偏好组合的集合，而且自己还没发现。

举个例子，给定参与人集合I和子集S，如果从S中和I\S中各取一个参与人，且这两个人的个人偏好不同，现在将两个人的偏好互换，再将两人放回原来的集合，社会偏好会不会发生改变呢？

如果你觉得，因为F的定义域中的个人偏好组合还是那几个，没有发生改变，因此社会偏好一定也没有改变，那你实际上已经预设了一个关于F的新性质——中立性。这是多数投票中的常见的一个性质，此时每个人的投票权重是一样的。但在这个定理的证明中，没有对这个性质有所设定，因此将参与人和偏好组合区别开来是必要的。当然，至于说这种区分是否有意义，这当然是说不定的，因为中立性可能存在有可能不存在。

第二点需要说明的是，虽然这个中文定义的时态用的过去时，但“S决定了x比y好”并不一定是一个既定事实。英文原文用的一般现在时，而且理所当然这是个条件句。换句话说，这个定义的意思是说，如果此时，关于{x,y}，S的所有人偏好如此，同时S外的所有人偏好也如此，根据全域定义域的条件，此时一定有一个社会偏好P与之对应，而要是社会偏好P此时也和S中的所有人偏好一致，则有“S决定了x比y好”。至于S中的参与者实际上是不是都是同一种偏好，这个定义是不考虑的。它只是F在可能的定义域上的一条性质，它并不是对应的一个实际的、具体的定义域。

对第二条与第三条的定义理解也是如此。

为了防止还有谁没听懂，我在这里新加一个“第0步”作为引理来帮助理解。

第0步：

对于任何参与者集合I的子集S，以及任何一对备选方案{x,y}，我们有：要么S，要么S的补I\S，是决定了x比y好，或者y比x好的。

证明：

不妨先假设此时S中的每个人认为x比y好，且S之外的每个人认为y比x好。根据社会偏好理性的条件，P是满足完备性的，即一定有xPy或yPx。如果是xPy，则是S决定了x比y好；如果是yPx，则是I\S决定了y比x好。

S与补集互换偏好的情况就不证了，同理。

证毕。

再考虑一个问题，全集I是决定性的吗？答案是，它当然是的。这就等价于在说F的帕累托性质，也就是“全票通过”的那个性质。

因此，只要对于个人偏好的假设情况成立，这三个定义就可以成立，而不用管实际偏好如何。

好了，到此为止，对新引入定义的说明就完成了。

另外，在第8步的说明里，有对整个证明过程的梳理，读者可以选择先看完第8步的说明后，再回过头来从第1步的证明开始看起。

现在正式开始对定理的证明。

第1步：

如果对于某个{x,y}，S决定了x比y好，那么对于任何备选方案z≠x，S决定了x比z好。类似地，对于任何z≠y，S决定了z比y好。

证明：

我们仅证明如果S决定了x比y好，那么S决定了x比z≠x好。另一部分的证明是类似的。

如果z=y，我们就不用证明了。因此，我们假设z≠y。

考虑一个偏好组合(P1,P2,…,PI)，其中

xPiyPiz，对于每个i∈S

和

yPizPix，对于每个i∈I\S。

于是，由于S决定了x比y好，所以社会认为x比y好，也就是说，xPy。另外，由yPiz对于每个i∈I成立以及F满足帕累托性质可知，yPz。

根据配对独立性条件可知，当S中的每个参与人认为x比z好而且S之外的每个参与人认为z比x好时，同时社会也认为x比z好。因此，S决定了x比z好。

证毕。

说明：

MWG的这个证明最大的问题就在于，对于配对独立性条件在证明过程的运用解释得非常之少。第一眼望过去，你甚至有可能连“配对独立性”这几个字都没找到（当然我在这里加粗了，你肯定还是看到了）。可能有人还会说：这不是就证明了这一个特殊情况嘛，作为分情况讨论，其他情况不都还没讨论的嘛？现在我来解释一下这个条件是怎么用的。

首先，在此之前，我们已经得到了xPy和yPz，根据传递性可知，此时有xPz。而且此时，根据假设，S中的每个参与人认为x比z好而且S之外的每个参与人认为z比x好。根据配对独立性条件，y在每个个人偏好中的位置，与社会偏好对x和z的排序无关。因此，只要S中的每个参与人还是认为x比z好而且S之外的每个参与人还是认为z比x好，无论y怎么样，一定依然有社会偏好xPz。于是以上条件满足了“S决定了x比z好”的定义。

证毕。

从上面可以看出，配对独立性条件就是用来补充对其他情况的讨论的。由于有了这个条件，我们只要先假设一个特例，并以此得出社会偏好的结论，然后通过运用这个条件，自动完成对其他所有情况的讨论与证明。可以说，这是个在证明过程中运用非常便利的条件。

之后步骤中，配对独立性条件的运用也都大致是这种类型，就不再多赘述了。

第2步：

如果对于某个{x,y}，S决定了x比y好，z是第三个备选方案，那么当w是不同于z的任何备选方案时，S决定了z比w好以及决定了w比z好。

证明：

根据第1步，S决定了x比y好以及决定了z比y好。但是这样一来，如果我们再次使用第1步，只不过这次运用在{x,z}和w上，可知：S决定了w比z好。类似地，将第1步运用在{z,y}和w上，可知：S决定了z比w好。

证毕。

第3步：

如果对于某个{x,y}，S决定了x比y好，那么S是决定性的。

证明：

这个结论可由第2步以及存在某个不同于x和y的备选方案z这个事实直接推出。事实上，取任何{v,w}。如果v=z或w=z，那么第2步直接蕴含着第3步的结论。如果v≠z且w≠z，我们可以运用第2步从而断言S决定了z比w好，然后使用第1步[运用在{z,w}上]断言S决定了v比w好。

证毕。

说明：

到此为止，关于“S决定了x比y好”的性质就说得差不多了。之后的命题中，都是直接假设某个集合是“决定性的”，而不再是先假设某个集合“决定了x比y好”了。但是对于配对独立性条件的运用还是一如既往的。

第4步：

如果S和T是决定性的，那么S∩T是决定性的。

证明：

任取三个不同的备选方案{x,y,z}，考虑偏好组合(P1,P2,…,PI)，其中

zPiyPix，对于每个i∈S\(S∩T)，

xPizPiy，对于每个i∈S∩T，

yPixPiz，对于每个i∈T\(S∩T)，

yPizPix，对于每个i∈I\(S∪T).

于是zPy，这是因为S（=[S\(S∩T)]∪(S∩T)）是个决定集。类似地，xPz，因为T是个决定集。因此，根据社会偏好的传递性可知，xPy。由配对独立性条件可知，S∩T决定了x比y好，从而根据第3步可知，S∩T是个决定集。

证毕。

第5步：

对于任何S，我们有：要么S要么S的补I\S是决定性的。

证明：

任取三个不同的备选方案{x,y,z}，考虑偏好组合(P1,P2,…,PI)，其中

xPizPiy，对于每个i∈S，

yPixPiz，对于每个i∈I\S.

于是存在两种可能性：一是xPy，在这种情形下，根据配对独立性条件可知，S决定了x比y好（因此，根据第3步，S是决定性的）；二是yPx，因为，根据帕累托性质条件，我们有xPz，在这种情形下，社会偏好关系产生了yPz。而这样一来，再次使用配对独立性条件，我们断言I\S决定了y比z好（因此，根据第3步可知，I\S是决定性的）。

证毕。

说明：

实际上，第0步的证明就是第5步这个证明的劣化版……

第6步：

如果S是决定性的而且S是T的子集，那么T也是决定性的。

证明：

根据帕累托性质条件可知，如果参与人集合是空集，那么它不可能是决定性的（的确，如果没有人认为x比y好并且每个人认为y比x好，那么社会不会认为x比y好）。因此，I\T不可能是决定性的，因为如若不然，根据第4步可知，S∩(I\T)=空集将是决定性的。因此，由第5步可知，T是决定性的。

证毕。

第7步：

如果S是决定性的而且它含有不止一个参与人，那么S存在一个严格子集S0，S0不等于S，使得S0是决定性的。

证明：

任取h∈S。如果S\{h}是决定性的，那么我们就得到了结论。因此，假设S\{h}不是决定性的。于是，根据第5步可知，I\(S\{h})=(I\S)∪{h}是决定性的。由第4步可知，{h}=S∩[(I\S)∪{h}]也是决定性的。因此，我们再次得到了结论，因为根据假设，{h}是S的一个严格子集。

证毕。

第8步：

存在一个h∈I使得S={h}是决定性的。

证明：

重复运用第7步并且考虑以下两个事实即可得到结论：一个事实是，参与人集合I是有限的；另外一个是根据帕累托性质可知，由所有参与人组成的集合I是决定性的。

证毕。

说明：

到此为止，我们可以看到，只要能证明，引入的新定义2只要能推出定义3，我们就能证明这整个定理了。

在走向最后关键的这一步之前，我再来梳理一下之前这些步骤的目的。

在第0步，我们证明了，对于任何参与者集合I，都有满足定义1的集合S；

在第1-3步，我们证明了，满足定义1的集合S一定满足定义2；

在第4-8步，我们证明了，满足定义2的集合S一定可以是单元素集合{h}。

因此，从第0步到第8步，我们证明了，对于任何参与者集合I，都有满足定义2的参与者个体h。

于是，如果在第9步，我们能证明，满足定义2的集合S一定满足定义3，则这意味着，对于任何参与者集合I，对于任何一对备选方案都有满足定义3的参与者个体h。

第9步：

如果S是决定性的，那么对于任何{x,y}，S完全决定了x比y好。

证明：

我们想证明，对于任何I\S的子集T，当S中的每个参与人认为x比y好，T中的每个参与人认为x至少与y一样好，每个其它参与人认为y比x好，那么社会认为x比y好。为了证明这个性质，取一个不同于x和y的第三个备选方案z。根据配对独立性条件可知，我们只要考虑满足下面这样的偏好组合(P1,P2,…,PI)即可，其中

xPizPiy，对于每个i∈S，

xPiyPiz，对于每个i∈T，

yPizPix，对于每个i∈I\(S∪T).

于是xPz，这是因为根据第6步，S∪T是决定性的；另外，zPy，这是因为S是决定性的。因此，根据社会偏好的传递性，我们有xPy，这正是我们想证明的。

证毕。

说明：

其实第9步也是挺简单的一事儿，可它就是不怎么说人话……

它的思路是这样的：首先，虽然S是决定性的，你也不能直接假设S决定了x比y好。定义1是定义3的一个特殊情形，要是直接这么设，这证明就没法走下去了。因此，只有先借用一个z，由S决定性从而先有zPy，再对S的补集进行构造，使得xPz，再通过P的传递性得到xPy。

换句话说，你要由S决定了z比y好，再加上一些条件，才推出S完全决定了x比y好。那之后呢？你只要再由S决定了x比y好，经过类似的构造条件，推出S完全决定了z比y好。如此反复，你就能得到第10步，也就是定理的最终结论。

那这些必要条件怎么构造呢？首先，对S一定有xPiy，zPiy，对于每个i∈S。但在它的补集中，一定也要有人决定x比y好的集合，这样才能满足定义3的条件。将这部分人记为T，虽然T也可能是空集（这种情形时就能直接得到结论了），也可能就是S的补集（这种情形时有帕累托性质也能直接得到结论了），我们还是假设，T是S的补集的非空子集。因此，一定有xPiy，对于每个i∈T。至于剩下的，自然一定有yPix，对于每个i∈I\(S∪T).。这时要注意，为了S的决定性能用上，T和I\(S∪T)中必须都是设定为yPiz的。

我们可以看到，对于这三个集合，还差一个x和z的相对偏好关系，所有的偏好就都设定好了。而根据我们的构造，我们需要这时能出现一个能得到xPz的条件，从而推出最终我们想要的xPy。于是，这时我们可以考虑借用第6步的结论，取S和T的并集，构造出一个新的决定性集合，再用它的决定性得到xPz。为了使用这个决定性条件，在x和z的偏好上，T要和S相同，I\(S∪T)要和S相反。不妨设xPiz，对于每个i∈S，则xPiz，对于每个i∈T以及zPix，对于每个i∈I\(S∪T)。

至此，所有集合内的参与者个人偏好都设定好了，也正如证明中所设的那样。

可能需要再次提醒的是，上述证明所有的偏好都是假设的。各个集合中的偏好并不一定就是如此。因此，使用同样的方法，将上面的话照抄下来（当然要把z和x的位置对调），构造假设一套新的偏好，我们就能再由S决定了x比y好，经过类似的构造条件，推出S完全决定了z比y好。之后以此类推，我们就能知道，对于任何满足决定性条件的S，它都能完全决定任何一对备选方案的社会偏好（就是说S的偏好和社会偏好完全一致）。

于是，现在证明最后一步。

第10步：

如果对于某个h，S={h}是决定性的，那么h是个独裁者。

证明：

如果{h}是决定性的，那么根据第9步，{h}完全决定了任何x比任何y好。也就是说，如果偏好组合(P1,P2,…,PI)使得xPhy，那么xPy。但这正好意味着h是个独裁者。

证毕。

至此，第8步和第10步共同完成了对阿罗不可能定理的证明。

阿罗不可能定理证毕。

 应用：机制设计中的推论

证明完后，最后说一下阿罗不可能定理的一个重要应用，就是在机制设计中的一个，同样是不可能性的推论。

注意到，我上面所说的社会福利泛函数F，并不意味着实际操作中的投票机制。在实际操作中，投票机制是给定的，但人的行为是没有给定的。每个人知道投票机制如何运作，知道自己的偏好，知道其他人可能的偏好类型（但由于信息不对称，有可能不能完全确定下来具体是哪种偏好）。因此，每个人都很有可能通过说谎，伪造自己的个人偏好，从而使得社会偏好变成自己真正的偏好。

用专业术语来说的话，在实际的投票过程中，整个机制更像是一个非完全信息贝叶斯博弈。

不仅是说谎，每个人还可能根据别人可能说慌的事实，进行套娃式说谎。这个相机行动的方案使得整个博弈结果可能会变得异常复杂。此时的机制也变成了一个复杂的动态程序。

熟悉微观经济学的人可能知道，经济学家只想找到博弈的均衡解。于是他们想：能不能设计 一套机制，让说实话成为每个人的一种优势策略，也就是让所有投票参与者都自愿如实报告自己的偏好呢？

事实上，他们已经得出了，只要投票机制，正式地说，是只要社会选择函数，具有一种弱偏好逆转性质（详情还请自行查资料），社会选择函数就可以在优势策略中是如实执行的。

但这就完了吗？

根据阿罗不可能定理，我们将会得到，如果社会选择函数在优势策略中如实执行的，并且满足全域定义域、备选方案有限且至少3个，等等条件（因为没有正式表述，在这里所需条件不能完全说清楚），那这个社会选择函数是独裁的。（也就是说，此时，必然存在这样的一个人，他想选谁，投了谁，社会就会选的谁。）

这就是机制设计中的吉巴德-萨特斯韦特定理（Gibbard-Satterthwaite theorem）。

也就是说，如果让所有人都自愿说实话，不管你是怎样的投票机制，只要满足那些条件，那必然导致这种至少看起来是非常不“公平”的结果。

当然，和阿罗不可能定理一样，吉巴德-萨特斯韦特定理的要求也算是比较严苛的。但不可否认，和阿罗不可能定理类似，它在很大程度上影响了相关问题研究的发展方向与进程。

后记

台版结物语今天正式发售了，自己难以抑制自己激动的心情，写篇科普冷静一下。

不想又是一篇一万多字的啊。

仓促而就，错漏难免，还望海涵。

那……就先这样了吧