指数函数e^x各大放缩公式松紧程度对比

在学到导数这一章时，关于指对函数的放缩问题，大家往往觉得非常困难，无从下笔。那么，我们不妨对放缩公式进行深入研究，看看里面是否有门道？

大家都清楚，高中阶段最常用的指数放缩公式为：

这个公式也是教材上唯一出现的指数放缩公式，也是有心学习导数放缩的同学们必须掌握的入门公式！

但有的时候，在证明含有指数函数的不等式时，同学们会发现使用上述公式进行放缩后，得出一个错误的式子，这是什么原因呢？

观察图像，

经过观察，我们不难发现：x+1的图像是e^x在x=0处的切线，因此上述公式也叫切线放缩。

我们还可以发现：随着横坐标x距离0越来越远时，两个函数图像的距离也将越来越大；而在横坐标x越来越接近于0时，两个函数图像的距离会越来越小。

因此，同学们之所以会证明失败，除了计算错误或方法使用错误之外，还有一种可能就是：由于上述公式的放缩程度过宽，导致同学们在放缩时，跨过了待证不等式的松紧程度，进而得出错误的式子致使不等式无法证明。

那么如何解决这种问题呢？我们再观察一下函数图像，可以发现在两个函数之间存在着巨大空隙。

因此，我们产生了这样一个想法：能否在两者的空隙之间插入一个函数，使得指数函数的放缩式进一步精确呢？

那么，下面是有关指数函数的常用放缩公式，有兴趣的同学们可以在私下里进行证明：

经过分类整理之后，可以分成两种不同情况：分别为：x＜0；x≥0。

将上述各个放缩公式的松紧程度进行比较，可以得到以下五类情况：x＜-3；-3≤x＜-1；-1≤x＜0，0≤x＜1/(e-1)，x≥1/(e-1)。

不难发现，切线放缩公式的松紧度和其他公式比起来，是相对宽松的一个了！

下面我们将与e^x最为接近的两个函数抽取出来，得到目前为止松紧度最紧的放缩公式

但鉴于上述形式背诵难度过大，且

的使用频率相对较少，并在上述众多松紧度最紧的放缩公式中，出现次数和使用范围都极为有限。故而将该公式删去，最终将最强放缩公式整理为：

图像如下图所示（其中仅e^x的图像为黑色）

这是在高中阶段尚未接触泰勒公式之前，松紧度最紧且使用频率相对可观的指数放缩公式了。如果能掌握上述公式及其证明，那么接下来在指对函数的证明中会给同学们如虎添翼！希望同学们能够从中受益，谢谢大家支持！