每周分享6：互等定理
励志考研出品2023年5月25日
前言：本期针对虚功原理的重要应用和推论讲解一下重要例题和天大真题。
【例题1】试用单位位移法计算图示静定梁截面B的弯矩MB和剪力QB。
【解析】天大结构力学考试中单位位移法不会直接出题，但是本题是影响线机构法题目解题的重要过程，在这里同学们一定要熟练掌握这种解题方法，加深对虚功原理的认识。
【分析】
（1）求M：将原结构中与M相应的约束去掉，即在截面B处加一个铰，使体系能在B处产生相对角位移，同时在铰两侧加上外力偶，其值大小为M，此状态即为求M实际力状态。然后使这一体系沿M的正方向发生单位相对角位移，得到虚位移状态。
（2）求Q：去掉与Q相对应的约束，即在截面B处加上两个平行于杆轴的链杆，使体系能在B处产生相对剪切位移，同时在链杆两侧加上大小为Q的集中力，此状态即为求Q的实际力状态。然后使这一体系沿s的正方向发生单位相对线位移，得到虚位移状态。
【参考答案】
（1）M
（2）Q
【注】刚体虚功原理即T=0。
【例题2】
（2007天津大学）位移互等定理中位移影响系数δ=δ，数值相等，其量纲可能是不同的。（ ）
（2008天津大学）反力互等定理中反力系数r=r仅仅是数值相等，其量纲是不同的。（ ）
（2011天津大学）位移互等定理，是指第一个力引起第二个力方向上的位移，等于第二个力引起第一个力方向上的位移。（ ）
（2014天津大学）位移互等定理适用于线性变形体系，也适用于非线性变形体系。（ ）
【参考答案】×，×，×，×
【解析】
（2007）量纲相同。
（2008）量纲相同。
（2011）不仅仅是“力”，必须是“单位力”。
（2014）互等定理的假设是线弹性小变形和叠加原理，所以互等定理的结论只适用于线性变形体系。
【总结】
反力互等定理：支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r21。这一关系只适用于超静定结构。应该注意，这里所说的约束位移和约束反力，均是指广义位移和广义力。反力互等定理不仅适用于两个反力间的互等，也适用于两个反力偶间的互等以及反力和反力偶间的互等。互等不仅是指在数值上相等，而且在量纲上也相同。
位移互等定理：由单位力P2=1所引起与力P1相应位置处的位移δ12等于由单位力P2=1所引起与力P1相应位置处的位移δ21。
应当指出,这里所说的单位力及其相应的位移，均是指广义力和广义位移。位移互等定理不仅适用于两个线位移间的互等，也适用于两个角位移间的互等以及线位移和角位移间的互等。互等不仅是指在数值上相等,而且在量纲上也相同。
【拓展】
广义功尽管兼收并蓄，包罗很广，但在所有做功过程中有一个共同的表观特点，就是一定有宏观位移产生，或者可以归结为宏观位移的作用。广义坐标、广义位移和广义力等都是由分析力学借用的概念。广义坐标并不一定是我们平常使用的线坐标，也可以是角坐标、面积坐标，甚至是非几何的物理量；如何选取，视所研究的具体做功过程由方便出发而定。广义坐标选定之后，广义位移和广义力就相应地确定了。广义位移的量纲自然与广义坐标的量纲一样；而广义力的量纲则不一定是力的量纲，但它与广义位移乘积的量纲则一定要和机械功的量纲相同。
【例题3】（2006天津大学）图示交叉体系，在A、E两点简支，沿LM固定。已知1kN竖向荷载作用于H点时，各节点竖向位移是：B、D是0.05cm，F、C、K是0.06cm，G、J是0.1cm，H是1.2cm。现有10kN竖向荷载平均分配在15个节点上，H点竖向位移为________。
【解析】
拿到题目可以看到最后需要求一个位移，但是条件只给了某个情况下各节点位移，所以这不是一个常规的图乘法求位移，而是需要利用题目位移条件求解H点竖向位移，我们很自然地可以想到互等定理。
【分析】
利用功的互等定理，
【参考答案】1.12cm（向下）
本期互等定理题目都非常经典，互等定理也是考试常见的重难点，同学们一定要掌握这些题目，反复琢磨，从而加深对互等定理、虚功原理的理解。
如果有疑问，同学们可以随时提问，下期有什么想看的可以在群内交流！
