使用分部积分法计算1/(x*ln x)的积分产生的悖论

2023-04-06 14:59 作者:Aromia 0人读过 | 我要投稿

首先，摆出今天要解决的悖论：对 $%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D$ 使用分部积分法，用 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bx%7D%7D$ 作为u，用 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 作为dv；那么du就等于 $-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%5E2%7Bx%7D%7D$ ，v就等于 $%5Cln%7Bx%7D$ 。

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bx%7D%7D%5Cln%7Bx%7D-%5Cint%7B(-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%5E2%7Bx%7D%7D)%5Cln%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D1%2B%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D$

现在，消去左右两边相同的东西，我们成功证明了0=1！显然，这并不成立。

其实如此的悖论十分常见，如用分部积分法积分 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 的时候：

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Dx-%5Cint%7B(-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D)x%5C%2Cdx%7D%3D1%2B%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D$

也会出现上述的悖论。

根本来讲，这是不定积分的锅。我们算的是一个不定积分的值，而众所周知，算完不定积分要加上一个常数：

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%E4%B8%80%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E4%B8%AA%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%BC%8F%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%AD%90%2BConstant$ $1%2B%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%E4%B8%80%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E4%B8%AA%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%BC%8F%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%AD%90%2BConstant%2B1%3D%E4%B8%80%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E4%B8%AA%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%BC%8F%5C%2C%5C%2C%5C%2C%E5%AD%90%2BConstant$

两个式子算出来以后所带的常数并不相同，所以，也不能直接消去。

如果我们换成计算定积分，就不会发生这样的问题了：

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5B1%5D_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D%3D0%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%7Bx%7D%7D%5C%2Cdx%7D$

$%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D%5B1%5D_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D%3D0%2B%5Cint_a%5Eb%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%7D$