-UP主汉语配音-【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方...
01:线性代数围绕两种基本运算：向量加法和向量数乘
02:线性组合，张成的空间与基
缩放第三个向量时，他将前两个向量张成的空间来回移动，从而扫过整个空间。
线性相关：
现象：第三个向量落在前两个向量张成的空间，或两个向量共线；
总结：
- 一组向量中至少有一个是多余的，即移除其中一个而不减小张成的空间。
- 其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在了其他向量张成的空间中。
- 所有向量都给张成的空间提供了新的维度，它们就被称为线性无关。
03: 矩阵与线性变换
线性变换：
保持网格线平行且等距分布的变换。
符号A：\hat i, \hat j变换后的位置，\vec x：某个向量在变换前的位置，\vec v：这个向量在变换后的位置：图示请点击：
组合：
04：矩阵乘法与线性变换复合的关系
矩阵乘法要从右向左读，来源于复合函数如f(g(x))。
矩阵乘法：可以看做是基向量，\hat i, \hat j经过了M_1，M_2两次变换。
05：行列式
- det=x，即将区域面积变为x倍；负数位改变了空间的定向，或二维基向量的方向向另一边改变了。三维空间中代表体积。
ad-bc：a、d代表在x,y方向的伸缩比例。
ad - b*0：即平行四边形的面积。
徒手计算行列式的公式：
- 二维
b、c代表在平行四边形在对角方向上拉伸或压缩了多少.
- 三维：
例：
两矩阵的行列式=行列式的乘积，因为放缩后的比例都是一样的
06：逆矩阵、列空间、秩与零空间
秩：变换后（列）空间的维数；
逆矩阵：A \vec x=\vec v这个变换的逆变换，跟踪\det v的变换过程即A^{-1}；
逆变换，A^{-1} A = [1,0]^T,[0,1]^T，
列空间： 所有可能的基向量变换后张成的空间（A \vec v）的集合，列空间就是矩阵的列张成的空间。
克拉默法则？
零空间或核：变换后落在原点的向量的集合； 对线性方程组来说，零空间即A{\vec{x}}=[0,0]^T
06+：非方阵，不同维度之间的线性变换
- 三阶方阵，变换为3*2矩阵：这个矩阵的列空间，是三维空间中过原点的二维面。但是，3*2依然是满秩的，因为输入空间和列空间的维数相等。3*2矩阵即二维空间转换到三维空间上，3*2即有两个基向量，每个基向量用三个独立的坐标表述。2*3反之。
- 1*2矩阵，点积。
07：点积与对偶
线性变换：数轴中等距分布的点在变换后依然等距分布。
点积的运算可以看作为\vec w，\vec v向另一个向量投影的长度的乘积。那么，为什么可以通过投影计算呢？
我们在二维坐标中，找一个过原点的数轴，其单位长度与二维坐标一致。此数轴的单位向量\vec u在变换后的位置，可以通过对称性（对偶）在原二维坐标中表示，我们设为一个1*2矩阵[\vec {u_x}, \vec {u_y}]，然后，二维空间中任意向量\vec {x}，则把二者点积的结果就是任意向量在数轴上的坐标，与投影相同。
总结：二维投影到一维的线性变换过程就是横纵坐标分别随着基量变化的过程。
08：叉积的标准介绍
基向量的顺序就是定向的基础，或右手定则：
叉积的方向就是线性变换后基向量方向的变化，三维中如上图，用右手定则，指向的方向就是叉积这个矢量的方向，矢量的长度为面积，例：
计算：
08+：从线性变换的角度看待叉积
90：基变换
$A^{-1} M A \vec x$
\vec x：代表“Jennifer”的形容的向量
A：代表转换为用我们的语言描述的向量（基变换）
M：\forall 某变换矩阵
A ^ {-1}：转换回“Jennifer”语言描述的向量（基变换的逆）
10：特征向量与特征值
