【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第一章静电学

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】 

§1-2电量，库仑定律

【01】我们已经知道带电物体具有吸引轻微物体的能力。但是，这种能力和哪些因素有关呢？这就是在这一节里所要讨论的问题。

1、电量概念

【02】让我们重复一下习题1-1(1)第1题里的实验，并按下列顺序进行观察。首先用手帕轻轻地摩擦一下玻璃板，观察板下纸屑被吸引的情况；然后重重地摩擦一下，观察纸屑被吸引的情况；最后连续地重摩好几次，再观察纸屑被吸引的情况。

【03】比较一下观察所得到的结果，我们就会发现玻璃板吸引纸屑的能力一次比一次强。为什么会有这种现象呢？首先我们应当承认，玻璃板之所以能吸引轻微纸屑是由于它带有电荷，这即是由于摩擦起电。其次根据摩擦的轻重程度和次数的不同，我们不难想象到，玻璃板所带电荷一次比一次多，所以吸引纸屑的能力也一次比一次强。这就是说，带电体吸引轻微物体的能力跟它所带电荷的多少有关，所带的电荷越多，吸引轻微物体的能力就越强；所带的电荷越少，吸引轻微物体的能力就越弱。或者说，吸引轻微物体的能力是物体带电多少的一种表现，一种标志带电体吸引轻微物体的能力强，就标志着它所带的电荷多；吸引轻微物体的能力弱，就标志着它所带的电荷少。

【04】物体所带电荷的多少叫做电量。

【05】带电体吸引轻微物体的能力是否只与所带电荷的多少有关呢？为了解决这个问题，让我们再来做一个实验。实验的用具和习题1-1(1)第1题里所述的完全相同，不过要准备好两套。在一块玻璃板底下垫两本较薄的练习簿，在另一块玻璃板底下垫两本较厚的练习簿。实验时，用手帕摩擦两块玻璃板，摩擦的轻重程度尽可能相同，摩擦次数也相等。仔细观察两块玻璃板下的纸屑被吸引的情况。

【06】实验的结果说明，带电体吸引轻微物体的能力，不仅与它所带的电荷的多少有关，还与它离开轻微物体的距离有关。距离越大，吸引轻微物体的能力也就越小。

2、库仑定律

【07】带电体能够吸引轻微物体的现象，是由电荷间相互作用的吸力和斥力所引起的（关于这一点，以后还要讨论）。吸引轻微物体的能力强，就说明电荷间的相互作用大；吸引轻微物体的能力弱，就说明电荷间的相互作用小。

【08】在介绍金箔验电器时，我们已经讲过，金属箔的张角随着金属箔上电荷的多少而增减。这个现象使我们想到，电荷间相互作用力的大小与电荷的电量有关。

【09】电荷间相互作用力的大小，与电量有什么关系呢？在1785年法国物理学家库仑应用一种叫做扭秤的仪器进行实验，结果发现了它们之间的关系，这个关系我们称它为库仑定律。

【10】库仑定律是电学中最基本的定律之一。它的内容是：在真空中，两个点电荷之间的相互作用力，沿着它们之间的连线，大小相等，方向相反；作用力的大小跟两个电量的乘积成正比，跟两个点电荷之间的距离平方成反比。

【11】如图1·4所示，以 q₁ 和 q₂ 表示两个点电荷的电量，r 表示它们之间的距离，F 表示它们之间的相互作用力，那末库仑定律的代数表示式应为  。

【12】上式叫做库仑定律公式。公式中的 K 是比例常数，它的大小取决于式中各物理量 (F、r、q₁和q₂) 的单位，K 的物理意义可以这样来理解：如果在真空中有两个点电荷，它们的电量各等于 1 单位，它们之间的距离也等于 1 单位，那么它们之间的相互作用力就等于 K 单位。

【13】如果两个电荷是同种的，式中的 q₁ 和 q₂ 就应当同为正号或同为负号，而求得的 F 却总是正值，这就表示两电荷相斥。如果两个电荷是异种的，q₁ 和 q₂ 的符号就应当相反，那么，求得的 F 总是负值，这就表示两电荷相吸。

【14】必须指出，库仑定律公式只适用于点电荷。点电荷，从字面上来理解，就是一个小到和几何点一样的带电体所带的电荷。实际上，符合这种条件的带电体是不存在的。在物理学里，点电荷的意义是相对的，不管是什么形状的带电体，只要它们的大小比它们之间的距离小很多，我们就可以把它们所带的电荷看作是点电荷。

【15】同样两个任意形状的带电体，当它们相距很远时就可以看做是点电荷，当它们相距不够远时就不能看做是点电荷，所以我们说，点电荷的意义是相对的，而不是绝对的。

【16】如果相互作用的带电体不能看做是点电荷，那么由于它们之间的距离 r 没有确定的意义，所以不能直接应用库仑定律。在这种情况下，必须把带电体分成很多微小部分来考虑。每一个微小部分所带的电荷可以看做是一个点电荷，每一个带电体所带的电荷可以看做是这许多点电荷的总和。先应用库仑定律求出各个点电荷之间的相互作用，然后再用求合力的方法求出两个带电体之间的相互作用。

【17】对电荷分布均匀的球状带电体来说，理论证明，在计算它和别的带电体之间的相互作用时，可以认为它的全部电荷都集中在球心上。因此，在计算两个均匀带电球体之间的相互作用时，我们可以把它们看做是两个位置在球心的点电荷，并且可以直接应用库仑定律公式来进行计算。在这种情况下，公式里的 r 就是两个球心之间的距离了。

【18】根据库仑定律求得的电荷之间的相互作用力，叫做静电力，又叫做库仑力。

3、电量的单位

【19】在明确了电荷之间的相互作用与电量间的关系——库仑定律之后，我们就可以根据这个定律，用力的大小来量度电量，从而也就确定了电量的单位。

【20】在厘米·克·秒制里，电量的单位叫做厘米·克·秒制静电系单位电量，或简称为静库。

【21】静库的大小是这样规定的：有两个电量相等的点电荷，在真空中相距 1 厘米，如果它们之间的作用力适为 1 达因，我们就规定这两个电荷的电量各为 1 静库。

【22】这样，当电量用静库、力用达因、距离用厘米作为单位时，库仑定律公式中的比例常数 K 就等于 1。因此，真空中适用的库仑定律公式可以简化为  。

【23】在电学里，根据厘米·克·秒制单位和静电学定律所确定的单位系统，叫做厘米·克·秒制静电单位系，或简称为静电单位系。

【24】在实际应用中，由于静库这个电量单位实在太小，我们常常使用一个叫做库仑的电量单位。库仑和静库的关系是：1 库仑＝3×10⁹ 静库。

4、电介质中的库仑定律

【25】电介质就是绝缘物质。例如空气、煤油、纯水、玻璃、橡胶、瓷器等都是电介质。

【26】实验证明，在电量 q₁ 和 q₂ 以及距离 r 都相同的情况下，如果把两个带电体放在电介质（例如煤油）里，它们之间的相互作用力总比在真空中小一些，至于小多少，那就要依电介质的性质来决定，通常我们把电介质中的库仑定律公式写成  。

【27】式中的ε【ε 是希腊字母，读作epsilon(依伯西隆)】代表电介质的介电常数。不同物质的介电常数大小不同，但总大于 1。下表列出几种常用电介质的介电常数：

【28】真空的介电常数为 1，空气的介电常数近似地等于1。

例1.现有两个均匀带电球体，它们分别带有电量 0.25 库仑和 0.24 库仑。(1)如果把它们放在空气里，彼此相距 3 米远，问它们之间的相互作用力是多大？(2)如果把它们放在石蜡里，彼此间的距离也是 3 米，相互作用力又是多大呢？

【解】

        这个题目的要求很明确，那就是求两个已知电荷之间的相互作用力。由于两个带电体都是球体，在计算时我们可以把它们当做两个位置在球心的点电荷来处理，所以可以直接应用库仑定律公式来求解。但在应用库仑定律公式时，必须把电量的单位从库仑变换成静库，把距离的单位从米变换成厘米，那就是：q₁＝0.25库仑＝0.25×3×10⁹静库，q₂＝0.24库仑＝0.24×3×10⁹静库，r＝3米＝300厘米。

        经过分析，我们对问题的性质（条件和要求）有了足够的认识，并掌握了解题的方法（步骤、公式、单位等），于是就可以开始运算。

        (1)在空气中，介电常数 ε 可近似地看作等于 1。根据库仑定律求得电荷间的相互作用力达因。

        (2)在石蜡里，介电常数 ε＝2。电荷间的相互作用力达因。

例2.在空气里放着三个均匀带正电荷的球体 A、B 和 C，它们所带的电量依次为 400、300 和 100 静库；A 和 B 之间的距离为 60 厘米，C 在  的中垂线上，离开  40厘米。求带电体 C 所受到的静电力（即库仑力）。

【解】

        先按题意作出三个带电球体的位置图（图1·5）。从图上可以看出，带电体 C 同时受到两个库仑力 F₁ 和 F₂ 的作用。F₁ 是带电体 A 对它的斥力，方向在 A 和 C 的连线上。F₂ 是带电体 B 对它的斥力，方向在 B 和 C 的连线上。F 是 F₁ 和 F₂ 的合力，这就是我们所要求的合静电力。

        由于带电体 A、B 和 C 都是均匀带电的球体，所以我们可以把它们看做是三个电荷集中在球心的点电荷，直接应用库仑定律公式来求各个静电力：

达因，达因。

        在求出 F₁ 和 F₂ 之后，我们可以用平行四边形法则求合力 F  。根据三角学中的余弦定律，可以得出 F²＝F₁²＋F₂²＋2F₁F₂ cos∠F₁CF₂＝F₁²＋F₂²＋2F₁F₂ cos∠ACB  。

        从图上可以看出，∠ACB＝2α；根据三角公式，  。

        代入上式，得出 达因。

        合静电力的方向可用 F₁ 的方向为标准来描述，即用角 θ 来表示。仍旧应用余弦定律，F₂²＝F²+F₁²-2 FF₁cosθ  。

        求得 ；

        查三角函数表，得出 θ＝30°41'  。

例3.如图1·6所示，两个点电荷 A 和 B，分别带有正电荷 9 静库和 36 静库，它们之间的距离为 30 厘米。现在要在它们之间放上第三个点电荷，正好使各个点电荷所受到的静电力平衡，即各个点电荷所受到的合静电力为零。问这第三个点电荷应该是正的还是负的？电量有多少？应当放在哪里？

【解】

        先根据题意作图表示电荷 C 在电荷 A 和 B 之间，并离开 A 点 x 厘米。在这三个电荷中，每一个电荷都要受到另两个电荷的作用力。已知 A 和 B 都是正电荷，如果 C 也是正电荷，那么 A 受到 B 和 C 对它的两个电斥力方向相同（都向左），B 受到 A 和 C 对它的两个电斥力方向也相同（都向右），因而 A 和 B 都不能处于平衡状态，即它们所受到的合力都不可能为零。所以我们可以断定，C 不应当是正电荷。

        如果 C 是负电荷，那么，A 受到 B 对它的电斥力和 C 对它的电引力，B 受到 A 对它的电斥力和 C 对它的电引力，C 受到 A 和 B 的电引力作用；因为在每个电荷上都作用着两个方向相反的静电力，只要力的大小适当，平衡是可能实现的。所以我们可以断定，C 应当是负电荷。

        设令电荷 C 的电量为 q，根据库仑定律可以算出：

        A 和 B 之间的相互作用力（斥力）达因。

        A 和 C 之间的相互作用力（引力）达因。

        B 和 C 之间的相互作用力（引力）达因。

        由于要求各个电荷都处于平衡状态，那么从电荷 C 来看，它所受到的电引力 F₂ 和 F₃ 就应当大小相等、方向相反，即 F₂＝F₃  。

        于是我们得到方程式 ，

        即 (30－x)²＝4x²，30－x＝± 2x；

        解方程，得出 x＝＋10厘米和 x＝－30厘米。

        x 的第二个根是负值，它表示 C 在 A 的左侧，这不合题意，所以我们的结论是：电荷 C 应当放在离开电荷 A  10 厘米处。

        再从电荷 A 来看，它所受的力 F₁ 和 F₂ 应当大小相等、方向相反，即 F₂＝F₁，

        并从而得出方程式： ，即 q＝0.04x²；

        把求得的 x 值代入，得出电荷 C 的电量 q＝0.04×10²＝4静库。

        读者可以根据电荷 B 的平衡条件计算一下，看电量 q 是否也等于 4 静库。

例4.两个带有等量同种电荷的小球，各重 0.1 克，并各用 50 厘米长的细丝线挂在同一点上。两球因彼此相斥而张开，在平衡状态下它们相距 20 厘米.求每个球所带的电量。（g 值取 980 厘米/秒²）

【解】

        如图1·7所示，在平衡状态下，两球各受三个力的作用，这三个力是小球的重力 mg、丝线的拉力 T 和电斥力 F，并且 mg 和 F 的合力 R 应该与丝线的拉力 T 大小相等、方向相反。也就是说，合力 R 应和丝线 OB 在同一直线上。

        由于对称，三角形AOB是等腰三角形， 是它的高。从几何关系可以看出，△OCB 与力 mg 和 R 以及它们的端点连线所组成的三角形相似，因此  。

        设两球各带电荷 q 静库，则它们间的斥力   。

        已知 ＝10厘米，

        厘米，

        mg＝0.1×980＝98 达因。

        把各已知量代入上面的比例式，得出；

        并解得 静库。

习题1-2

1、在真空中有两个带同种电荷的小球，它们的电量分别为 20 和 30 静库，它们之间的距离为 10 厘米；求这两个带电小球之间的相互作用力。如果这两个带电小球是处在石蜡中，它们之间的相互作用力又应该是多大？【6达因，3达因】

2、在空气中有两个带异种电荷的小球，一个小球所带的电量是另一个小球所带电量的 4 倍。当它们相距 5 厘米时，相互吸引的力是 16 达因，当它们相距 10 厘米时，相互吸引的力应该是多少达因？而小球所带的电量又各等于多少呢？【4达因，10静库，40静库】

3、有两个带电小球，当它们在空气中相距 12 厘米时，相互作用的力是 36 达因。问当它们在纯水中相距 4 厘米时，相互作用的力应该是多大？【4达因】

4、均匀带电球体 A 和 B 的位置是固定不动的，它们彼此相距 15 厘米，A 带正电荷 Q，B 带负电荷 4Q  。现在有另一个带电小球 C，问应当把它放在什么地方才能使它处于平衡状态？又这个平衡位置与 C 球所带电荷的电量和正负有没有关系？【距A球15厘米】

5、如果前题中的 A 和 B 同时带正电荷或同时带负电荷，那么小球 C 的平衡位置应当在哪里？【距A球5厘米】

6、均匀带电球体 A 和 B 的电量分别为＋q和＋4q，它们之间的距离为 150 厘米。如果引进另一个带电球体 C，正好能使三个球体都处于平衡状态，问 C 球所带的电荷应当与 A 和 B 同号还是反号？为什么？【异号】

7、前题中的 C 球应当放在什么地方？所带电荷的电量应当是 q 的几倍？【距A球50厘米，】

8、两个点电荷 A 和 B 之间的距离是 a 厘米，各带同种电荷 q 静电系单位电量。第三个点电荷的电量是 1 静电系单位，离开 A 和 B 的距离也都是 a 厘米。试求第三个点电荷所受到的静电力的大小和方向。【达因，垂直于AB连线】

9、两点电荷 A、B 相距 10 厘米，各带异种电荷 400 静库，第三个点电荷的电量是 5 静库，放在离开 A 和 B 都是 20 厘米处。求第三个点电荷所受到的静电力的大小和方向。【2.5达因，平行于AB连线】

10、两个带有同种等量电荷的小球各重 0.1 克，分别用 4 厘米长的丝线悬挂在同一点上，由于电荷之间的斥力作用，丝线间的张角正好是 90°  。试求电荷的电量。【56静库】