【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep33】一点可深可浅的预备知识
1688字，写了大概120分钟，想的时间有一个多小时，下次要预留至少三个小时左右才够了——
大家好，我是你们的好朋友老碧，我们刚刚结束了对“实数论”景点的明快而又愉快的参观，在我们到达第二站“极限论”之前，我们先简要回顾一下高中的一点知识，然后我们就可以在“极限论”里愉快地观光嬉戏了！真是激动得老碧虎躯一震，一下子从梦里醒了过来！
在看书之前，我们先回顾一下老碧之前聊过的在数学学习，乃至在所有学习中很重要的一个思想——“化归思想”：把那些不熟悉的全新的问题通过种种途径转化为我们熟悉已知的问题来解决。
那么换一个思想来说，如果你遇到的问题往往可以通过“化归思想”解决，那么，对于最简单，基本的对象的研究，则会为解决相对有一定难度，复杂的问题提供素材。
更进一步，大学数学专业课中，如果忽然到了哪里有了知识断层的问题，如果不是你阅读习惯一直不太好，大概率是前面的某些基础方面存在漏洞，所以不断重复检索，是一个自学中做到的最基本的习惯。
所以，数学学科的展开当然可以从最抽象的内容开始展开，然后回归到基本内容，但是，如果按照正常人的认知规律，大多数写给正常大学生中学生的教材依然是按照从简单到复杂，从具体到抽象的顺序，那么，面对以函数为主要研究对象的“分析学”，就不得不从最简单最基本，也是距离我们日常生活最近的一种函数开始聊起，即——数列。
而要聊清楚“数列”，就要从我们获得函数的原始素材开始——这个世界上的变化万千。
世界是充满变化的，但是人又是偏爱稳定的，所以人们研究变化的目的，便是从这些变化中获取不变的规律，然后便可以依靠规律，做出对未来或者对潜在可能性的预测。
我们从变化中抽象出了变量的概念，我们从对规律的探索中得到了函数这个工具。
所以，一切都要从变量开始聊起——
22变量、整序变量
书上先介绍了在“自然科学”中往往存在“常量”和“变量”两种量
——前者在不同情况下不发生改变，后者会随着情况的变化得到不同的结果。
注意：
实际上，所谓的常量，在许多时候又可能转化成某种变量，这取决于我们认知的深度和科学的进展；
另一方面，真正的实验室状态，往往采取“控制变量法”，采取人为控制无关变量恒定的的方法，所以这里的常量和变量就更是可以按照实验目的不同而发生转化的了；
由实验得到的数据获得函数往往采取“插值”的方法，这个之后我们会聊到。
在数学里，往往不考虑量的实际意义，仅关心这量的数字——这一步就是所谓数学的抽象，我们从一大堆性质中获取最核心本质的内容，其他的那些，我们不在乎。
这也就是从解n元方程组中得到行列式的定义的思路。
这里用集合的思想将常量和变量的定义形式统一，变量是一个多元集合，而常量是一个一元集合。
下面就涉及到关于序的问题，我们在之前知道像实数，有理数是天然具有顺序的集合，有了“序”，一个集合才具有方向，也才会存在说按照某种方式的变化的问题，如果集合无序，所有元素等效，那么就不存在变化的问题了。
所以，“序”的存在是变量能够成为变量的前提，我们如果想要建立类似函数的概念，就需要对“序”进行严格的定义。
但是由于自然数、实数是天然具有“序”的，而《数学分析》是在实数范围内研究极其特殊的一群函数，所以真正接触“序”的定义是在《实变函数》的课程中。
在这里我们先聊最简单的一种函数/变量，因为其基础性的作用，同时也是最重要的一种函数/变量——数列。
数列，即是按照自然数变化的变量，因为其自变量为整数，就被称为整序变量。
接着给出了几个常见的数列的例子——
算术数列/等差数列
几何数列/等比数列
3.正n边形的周长（n是自然数）
这个直接解三角形就可以得到。
4.根号二的n位不足近似（n是自然数）
然后给出了数列的变项的定义与表达法——
给出了数列的表示方法——
1.表达式法——
这个内接正多边形的公式，同样可以从基础的三角形知识得到。
2.描述法——
比如根号二的n位不足近似构成的数列。
接着说明了，给出了表达式，则给出了所有变项，以及它们的次序——
最后指出，常数列的存在性——
注意，此处标出了每一项的项数。
明天开始，进入最基础的一种极限形式——数列极限，然后我们之后学习的函数极限的许多性质的证明都要回归到数列极限的性质上，所以大家一定要加油哦！
不见不散！
