定积分定义解决所有累加极限问题

考研数学里面有一种常见题型，就是数列累加极限问题，实际上就是无限个无穷小相加的极限。这类问题我们一般有三种解法： 1、和式可以表达出来，之后就可以用海涅定理转化为函数极限，比如能够裂项相消的、等比数列之类的。但是这类题在考研里面几乎不会出现，因为这偏向于高中数列的内容。 2、放缩法。左右放缩之后利用夹逼准则，但是这类方法的缺点就是放缩的技巧性比较强，有时候不容易找到合适的放缩方式。 3、定积分法。传统的定积分法是针对一类特殊的求和式才能使用：

也就是说这类求和式有两个要求，第一，i的上下限必须是n和1；第二，累加项要能转化为i/n的函数乘1/n的形式。因此，方法受到了很大的限制，应用范围不广，而当此方法失效的时候前两个方法又不好用，所以我总结出了破除这两个限制的方法，从而让定积分法成为解决累加问题的通法。 先解决i的范围问题。当i的范围不是1到n的时候，我们依然将累加项化为f(i/n)1/n的形式，那么这个式子累加依然表示f(x)在某个区间上的积分，只不过不一定是0到1。我们依然把这个乘积当作小长方形的面积，底边长为1/n，那么高就为f(i/n)，则i/n为小长方形底边上某一点的横坐标。而i取到下一项i+1的时候，(i+1)/n与i/n相比增加了1/n，也就是说正好代表下一个长方形底边上相同位置的点的横坐标。因此，把i从下限取到上限累加起来，就是所有小长方形的面积之和，也就是f(x)的定积分，而积分下限就是第一个长方形的取点横坐标，也就是i的下限/n，积分上限就是最后一个长方形的取点横坐标，也就是i的上限/n。 因此，我总结出了i在任意范围的定积分转化公式：

特殊情况就是i从1到n的时候，积分上下限就是0到1。 第二个问题，就是累加项不能转化为i/n的函数的问题。这个时候，我们可以采取吸收原则，即无穷大相加减的时候，只保留高阶无穷大，低阶无穷大和常数可以消掉，实际上就是大家俗称的抓大头。其中，n和i视为一对同阶无穷大。 是的，有人会有一个疑问了，就算是用吸收原则调整之后，还是有可能得不到n和i的齐次式，导致无法转化。但是这种情况，答案是直接出来了的。因为用吸收原则调整之后，分子和分母分别都是齐次了，只是分子分母的次数不一定相同（注意是提出1/n后，也就是分子乘n后），这个时候，如果分母次数大，那么分母就是高阶无穷大，比值就是0，也就是说被积函数为0，那么该累加数列的极限就是0，反之就是无穷大，发散。这样一来，就解决了所有的情况。 那么，总结一下定积分法求累加数列极限问题的解题步骤： 1、找到i，i的上下限不限，但必须是公差为1的等差数列。这个一定可以找到的，因为累加式中的变量有规律，构成数列，便有通项公式，通项中的项数就是i，公差为1。 2、利用吸收原则调整累加项之后转化为i/n的函数乘1/n。如果调整之后依然无法转化，那分母高阶就是0，分子高阶就是无穷大。 3、i/n变为x，1/n为dx，i的上下限分别/n作为积分上下限（n→∞）。 我们利用这个方法还可以轻松解决2021考研数学二的选择题第七题：

这题的参考答案解法是根据定积分的定义判断选项中分割长方形的方式和横坐标取点位置，属于是直接用底层原理解题了，比较麻烦，而用总结出来的新方法可以迅速判断出每个选项的累加式代表的积分。A项是1/2倍0到1上f(x)积分，B是答案，C是2倍，D是4倍，判断方法就是-1可以抹掉，根据吸收原则。然后k/n是x，1/n是dx，k从1到n就是0到1积分，k从1到2n就是0到2积分。之后括号里面有x/2，积分限0到2，正好换元变成x，积分限也就变成0到1了。 希望这样的定积分法能够对大家有帮助。