球冠与球缺、球锥与立体角

        球冠，是指一个球面被平面所截后剩下的曲面。

        球冠的高，是指球冠顶点到截面的距离。

        下面来推导球冠的面积。

        不妨记母线与轴线的夹角为，我们有

    ## 这里的计算方法和计算球体表面积类似，只是积分上下限变化，也可以用阿基米德那一套去做，不再重复证明。

        这里有一个非常巧妙的结论。

        其中为球冠的高。

    ## 球冠与截面组成的图形的体积，又称球缺，会放在后面计算。

        上图是一个球锥（球冠加棱锥侧面），全称球面棱锥。

        下面计算球锥的表面积与体积。

        根据球冠面积的公式，得到

        根据体积与面积等比例分配的原理，得到

        我们来观察其中等比例分配意味着什么。

        在扇形面积推导中，我们同样用到了等比例分配这件事。

        这里的是扇形的圆心角。

        那么，我们是否可以认为，一个三维空间内的面同样有角？

        定义：以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比为该锥体的立体角。

        立体角和角度一样，是一个无量纲量。

        根据定义，容易得到球冠的立体角为

        特别的，令

        得到球面的立体角为

        据此，我们改写球冠表面积、球锥体积公式。

        下面简单计算球冠与截面组成的图形的体积。

        如果用高表示，消去，得到