两个点能决定根的情况？ MRN的数学之旅 第5篇

前言：代数是一片神秘的区域，里面不仅有需要蛮力越过的艰险，也有需要高（ni）深（xiang）莫（bu）测（dao）的方法才能通过的机关。在其中旅行固然困难重重，但无意之中，也许会有一些惊人的发现。一旦你发现了什么，前面的艰辛仿佛就化作浮云了。

初看上去，求证的结论非常奇特：f(x)有没有有理根，似乎与f(0)、f(1)是奇数还是偶数没有什么关系。但当我们看到这两条定理时，仿佛思路突然出现了。

我们先设f(x)的解析式为

显然有

由f(0)为奇数可知，a0的所有因数均为奇数，不妨设它的一个不为±1的因数为p，则由定理1（见第二幅图）可知，  f(x)的有理根只可能为±1、±p。

但显然有±1±p为偶数，由偶数不能整除奇数可知，

故±p不是f(x)的有理根（见第二幅图的第三处标记）。显然f(1)≠0，故我们只需要验证–1不是f(x)的根即可。由因式定理可知，f(x)=(x+1)g(x)，则f(1)=2g(1)。这与f(1)为奇数相矛盾。故–1也不是f(x)的根。

综上，f(x)没有有理根。

利用这一结论，我们可以迅速判断下面两个多项式在有理数域上不可约。

最后需要指出一点：这个结论是一个多项式没有有理根的充分条件，而不是必要条件。

up研究代数不久，如果文章中有错误，请您及时指出，up将非常感谢您的帮助。

（头图来源见左下角水印）

[1]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013

By Dr.MRN(F)

2019/8/19