形式Dirichlet级数

2022-01-18 20:48 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

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积性数论中有一个十分重要的工具——Dirichlet级数（也叫Dirichlet生成函数），它通常是为以下形式：

$%5Cmathcal%20D(s%2Cf)%3A%3DF(s)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bf(n)%7D%7Bn%5Es%7D$

本期并不会过深入的研究，而是只指出它的有关数论函数的一些代数性质

取 $f(n)%3D1(n)%5Cequiv1$ ，就可以得到著名的zeta函数：

$%5Cmathcal%20D(s%2C1)%3D%5Czeta(s)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac1%7Bn%5Es%7D$

Euler乘积公式

先从一个著名的乘积开始：（ $%5CRe(s)%3E1$ ）

$%5Czeta(s)%3D%5Cprod_p%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D$

该公式可以由以下更广义的结论推出：

若 $f(n)$ 是积性函数且 $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)$ 绝对收敛，则

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)%3D%5Cprod_p(1%2Bf(p)%2Bf(p%5E2)%2B%E2%80%A6)$

◀因为 $f(n)$ 是积性函数，所以 $f(1)%3D1$ ，根据算术基本定理可将每个n唯一分解为若干素数的乘积，当n遍历所有整数时，分解出的乘积素数将遍历所有素数，这里就简单验证下：

$%5Cprod_%7Bp%5Cle%20N%7D(1%2Bf(p)%2Bf(p%5E2)%2B%E2%80%A6)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f(n)%2BR(N)$

其中 $%7CR(N)%7C%5Cle%5Cleft%7C%5Csum_%7Bn%3EN%7Df(n)%5Cright%7C%5Cle%5Csum_%7Bn%3EN%7D%7Cf(n)%7C$

因为 $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)$ 绝对收敛，所以当 $N%5Crightarrow%5Cinfty$ 时 $R(N)%5Crightarrow0$

因此该公式成立▶

特别地，若 $f(n)$ 是完全积性函数，则

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)%3D%5Cprod_p(1-f(p))%5E%7B-1%7D$

显然可以由几何级数直接推出

因此在上诉公式中取 $f(n)%3D%5Cfrac1%7Bn%5Es%7D$ 可得

$%5Czeta(s)%3D%5Cprod_p%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D$

在上式中令 $s%5Crightarrow1$ ，因为右侧是发散的，所以右侧也是发散的，即右侧必须有无穷项，由此便可得著名的Euclid定理——素数有无穷多个

几个有用的性质：

设 $%5Cmathbb%20A$ 是所有数论函数的集合，显然有

$%5Cmathcal%20D(s%2Cf%2Bg)%3D%5Cmathcal%20D(s%2Cf)%2B%5Cmathcal%20D(s%2Cg)%2Cf%2Cg%5Cin%5Cmathbb%20A$
$%5Cmathcal%20D(s%2Ckf)%3Dk%5Cmathcal%20D(s%2Cf)%2Ck%5Cin%20%5Cmathbb%20C%2Cf%5Cin%5Cmathbb%20A$

令 $*$ 表示Dirichlet卷积，有

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cmathcal%20D(s%2Cf)%5Cmathcal%20D(s%2Cg)%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bf(n)%7D%7Bn%5Es%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bg(n)%7D%7Bn%5Es%7D%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bf(n)g(m)%7D%7B(mn)%5Es%7D%5Cend%7Baligned%7D$

作代换 $k%3Dmn$ ，可得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cmathcal%20D(s%2Cf)%5Cmathcal%20D(s%2Cg)%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5Es%7D%5Csum_%7Bk%3Dmn%7Df(n)g(m)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bf*g(k)%7D%7Bk%5Es%7D%5Cend%7Baligned%7D$

$%5CRightarrow%20%5Cmathcal%20D(s%2Cf)%5Cmathcal%20D(s%2Cg)%3D%5Cmathcal%20D(s%2Cf*g)$

以 $%5Ctilde%7Bf%7D%20(n)$ 表示 $f(n)$ 的Mobius变换，则有

$%5Cmathcal%20D(s%2C%5Ctilde%7Bf%7D)%3D%5Czeta(s)%5Cmathcal%20D(s%2Cf)$

一个应用

取mobius函数 $%5Cmu(n)$ ，根据广义Euler乘积公式

$%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cmu)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Cprod_p%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B%5Cmu(p)%7D%7Bp%5Es%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cmu(p%5E2)%7D%7Bp%5E%7B2s%7D%7D%2B%E2%80%A6%5Cright)%3D%5Cprod_p%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)$

因此，可以得到

$%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cmu)%3D%5Cfrac1%7B%5Czeta(s)%7D$

再根据Dirichlet级数乘积性质，就再次推出了Mobius反演公式，又有

$1%3D%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cvarepsilon)$

其中 $%5Cvarepsilon(n)$ 是单位示性函数，因此也可得1与Mobius函数的Dirichlet关系

再从zeta函数出发，对它取一阶导数，可得

$%5Czeta'(s)%3D-%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Clog%20n%7D%7Bn%5Es%7D%3D-%5Cmathcal%20D(s%2C%5Clog)$

进一步，若取k阶导数，有

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5Ek%7D%7B%5Cmathrm%20ds%5Ek%7D%5Czeta(s)%3D(-1)%5Ek%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Clog%5Ek%20n%7D%7Bn%5Es%7D%3D(-1)%5Ek%5Cmathcal%20D(s%2C%5Clog%5Ek)$

对zeta函数的Euler乘积取对数

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cln%5Czeta(s)%26%3D-%5Csum_p%5Cln%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac1%7Bnp%5E%7Bsn%7D%7D%5Cend%7Baligned%7D$

再取导数，得到

$%5Cfrac%7B%5Czeta'%7D%7B%5Czeta%7D(s)%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Clog%20n%7D%7Bp%5E%7Bsn%7D%7D$

这里以 $%5Cfrac%20%7Bf'%7Df(s)$ 表示 $%5Cfrac%7Bf'(s)%7D%7Bf(s)%7D$

注意到此和式实际上就是遍历所有素数的乘方，因此可以利用Von mangoldt函数将它改写为

$%5Cfrac%7B%5Czeta'%7D%7B%5Czeta%7D(s)%3D-%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D-%5Cmathcal%20D(s%2C%5CLambda)$

由此及乘积性质可以建立Von mangoldt函数与自然对数间的Mobius变换关系

$%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%5CLambda(d)%3D%5Clog%20n$

Selberg等式

关于该等式，利用Dirichlet级数可以给出一个十分简洁的证明，有

$%5Cfrac%7B%5Czeta'%7D%7B%5Czeta%7D(s)%3D-%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D-%5Cmathcal%20D(s%2C%5CLambda)$

对它取个导数吧

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%7D%7B%5Cmathrm%20ds%7D%5Cfrac%7B%5Czeta'%7D%7B%5Czeta%7D(s)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%5Clog%20n%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Cmathcal%20D(s%2C%5CLambda%5Ccdot%5Clog)$

而又有

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%7D%7B%5Cmathrm%20ds%7D%5Cfrac%7B%5Czeta'%7D%7B%5Czeta%7D(s)%3D%5Cfrac%7B%5Czeta''%7D%7B%5Czeta%7D(s)-%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Czeta'%7D%7B%5Czeta%7D(s)%5Cright)%5E2$

$%5CRightarrow%20%5Cmathcal%20D(s%2C%5CLambda%5Ccdot%5Clog)%3D%5Cmathcal%20D(s%2C%5Clog%5E2)%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cmu)-%5Cmathcal%20D%5E2(s%2C%5CLambda)$

$%5CRightarrow%5Cmathcal%20D(s%2C%5CLambda%5Ccdot%5Clog)%3D%5Cmathcal%20D(s%2C%5Clog%5E2%5Ccirc%5Cmu-%5CLambda%5Ccirc%5CLambda)$

$%5CLambda(n)%5Clog%20n%3D%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%5Cmu%5Cleft(%5Cfrac%20nd%5Cright)%5Clog%5E2d-%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%5CLambda(d)%5CLambda%5Cleft(%5Cfrac%20nd%5Cright)$

杂烩

不妨试试把一些数论函数揉进Dirichlet级数里：

（以下 $%5Comega(n)$ 表示n的不同素因子个数， $%5COmega(n)$ 表示所有素因子个数， $%5Comega(1)%3D%5COmega(1)%3D0$ ）

由于 $d(n)%3D%5Csum_%7Bd%7Cn%7D1%3D1*1(n)$ ，因此

$%5Cmathcal%20D(s%2Cd)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bd(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Czeta%5E2(s)$
更进一步，根据Dirichlet卷积的另一种定义，有

$%5Cunderbrace%7B1*1*%E2%80%A6*1%7D_%7Bk%E4%B8%AA%7D%3D%5Csum_%7Bn%3Da_1a_2%E2%80%A6a_k%7D1$

右式可以看做将n分解为k个数相乘的方法种数，

设 $%5Ctau_k(n)%3D%5Csum_%7Bn%3Da_1a_2%E2%80%A6a_k%7D1$

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5CRightarrow%20%5Cmathcal%20D(s%2C%5Ctau_k)%26%3D%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cunderbrace%7B1*1*%E2%80%A6*1%7D_%7Bk%E4%B8%AA%7D)%5C%5C%26%3D%5Cmathcal%20D%5Ek(s%2C1)%3D%5Czeta%5Ek(s)%5Cend%7Baligned%7D$
还用另一种方式推广：设

$%5Csigma_k(n)%3D%5Csum_%7Bd%7Cn%7Dd%5Ek%3D1*%5Cmathrm%20%7Bid%7D%5Ek(n)$

$%5CRightarrow%20%5Cmathcal%20D(s%2C%5Csigma_k)%3D%5Czeta(s)%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Czeta(s)%5Czeta(s-k)$
根据Mobius函数的性质，Euler函数

$%5Cvarphi(n)%3Dn%5Cprod_%7Bp%7Cn%7D%5Cleft(1-%5Cfrac1p%5Cright)%3D%5Csum_%7Bd%7Cn%7D%5Cmu(d)%5Ccdot%5Cfrac%20nd%3D%5Cmu*%5Cmathrm%20%7Bid%7D(n)$

因此，其Dirichlet生成函数为：

$%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cvarphi)%3D%5Cfrac1%7B%5Czeta(s)%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Cfrac%7B%5Czeta(s-1)%7D%7B%5Czeta(s)%7D$
再由zeta函数在偶数处的值，我们得到一个形式上的zeta函数在奇数处的公式：

$%5Czeta(2n-1)%3D(-1)%5E%7Bn%2B1%7D%5Cfrac%7BB_%7B2n%7D(2%5Cpi)%5E%7B2n%7D%7D%7B2(2n)!%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Cvarphi(n)%7D%7Bn%5Es%7D$
这个公式并不能用来计算在奇数处的值，也就是说它其实没啥鸟用(
因Mobius函数仅在n无平方因子时不为零且绝对值都是1，因此取它的绝对值或平方即可表示对无平方因子整数的示性函数

$%5Cmu%5E2(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%2C%26%20%5Cnexists%20p%2Cp%5E2%7Cn%20%5C%5C%200%2C%20%20%26%20%5Ctext%7Botherwise%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Mobius函数是积性的，因此其平方也是积性，将它揉进Dirichlet级数里并利用Euler乘积：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cmu%5E2)%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Cmu%5E2(n)%7D%7Bn%5Es%7D%5C%5C%26%3D%5Cprod_p%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B%5Cmu%5E2(p)%7D%7Bp%5Es%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cmu%5E2(p%5E2)%7D%7Bp%5E%7B2s%7D%7D%E2%80%A6%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Cprod_p%5Cleft(1%2B%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5C%5C%26%3D%5Cprod_p%5Cfrac%7B%5Cleft(1%2B%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%7D%7B%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%7D%5C%5C%26%3D%5Cprod_p%5Cfrac%7B%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5E%7B2s%7D%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Cleft(1-%5Cfrac1%7Bp%5E%7Bs%7D%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%7D%5Cend%7Baligned%7D$

$%5CRightarrow%20%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cmu%5E2)%3D%5Cfrac%7B%5Czeta(2s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D$
引入Liouville函数 $%5Clambda(n)%3D(-1)%5E%7B%5COmega(n)%7D$

$%5Cforall%20m%2Cn%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5COmega(mn)%3D%5COmega(m)%2B%5COmega(n)%5CRightarrow%20%5Clambda(mn)%3D%5Clambda(m)%5Clambda(n)$
于是Liouville函数是完全积性的，因此利用Euler乘积，
$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cmathcal%20D(s%2C%5Clambda)%26%3D%5Cprod_p%5Cleft(1-%5Cfrac%7B%5Clambda(p)%7D%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%5C%5C%26%3D%5Cprod_p%5Cleft(1%2B%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cend%7Baligned%7D$
于是如法炮制地得到
$%5Cmathcal%20D(s%2C%5Clambda)%3D%5Cfrac%7B%5Czeta(2s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac1%7B%5Cmathcal%20D(s%2C%5Cmu%5E2)%7D$
因此Liouville函数与Mobius函数的平方是互为Dirichlet逆的
$%5Czeta(2s)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B2s%7D%7D$
注意到该和式只有正整数的平方参与，因此可以设
$%5Ctext%7Bsqrt%7D(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%2C%26%20%5Cexists%20m%5Cin%5Cmathbb%20N%2Cn%3Dm%5E2%20%5C%5C%200%2C%20%20%26%20%5Ctext%7Botherwise%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$
则在其绝对收敛的情况下，
$%5Czeta(2s)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bsqrt%7D(n)%7D%7Bn%5Es%7D$
由omega函数的定义可知

$%5Comega(n)%3D%5Csum_%7Bp%7Cn%7D1%3D1*%5Cmathrm%20p(n)$

其中 $%5Cmathrm%20p(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%2C%26%20n%5Cin%20%5Cmathbb%20P%20%5C%5C%200%2C%20%20%26%20n%5Cnotin%5Cmathbb%20P%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ 为素数的示性函数

$%5Cmathcal%20D(s%2C%5Comega)%3D%5Czeta(s)%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20p(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Czeta(s)%5Csum_p%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D$