二阶偏导数选择题,但是瞪眼儿法秒了。


常规判断二元函数极值点的方法都是分两步走:
Z = XY( 3 - X - Y )
对原函数的俩变量分别求一阶偏导,令两个一阶导函数等于零,解方程算出驻点的坐标;
∂Z / ∂X = Y( 3 - 2X - Y ) = 0
∂Z / ∂Y = X( 3 - 2Y - X ) = 0
求俩变量各自的二阶偏导A&C及它们的混合偏导B,用条件判别式“AC-B²>0”确定驻点是否为极值点。
A:∂²Z / ∂X² = - 2Y
C:∂²Z / ∂Y² = - 2X
B:∂²Z / ∂X∂Y = 3 - 2X - 2Y
AC-B²:4XY - ( 3 - 2X - 2Y )² > 0

“但是我说,你就慢了。”
因为选项里的四个点都是驻点,算一大堆导数也属实太费时间;因此,不妨还是画一个拍扁在地上的直角坐标系,然后把原函数的图像画出来~

观察解析式:当X等于0时,Y无论取多少,Z都恒等于0;Y等于0时同理——所以整个儿横、纵轴上都是直线,高度处处相等,不可能出现比周围都大或者小的极值点;那选项(A)、(B)、(C)直接全排了,因为它们都在轴线上。¯\_(ツ)_/¯
咱要是不放心,还可以再作图检验一下(D)。方法很简单——把(1,1)周围一圈儿的点都代进去,立刻就能发现它们全是0;只有中间儿这里凸出来:

( 1 , 2 , 0 )
( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 2 , 1 , 0 )
( 1 , 0 , 0 )
因此,选项(D)正确√
(更正:上期视频《[经验分享-高等数学]发现一种直观判断二重积分正负性或比较大小的取巧方法√》的定时发布时间提前到2023-09-01而非2023-09-22的18:00了)
——@原力总督(FORCE_VICEROY)
立项日期:2023-08-17
发布日期:2023-09-26