【数学基础Ep3】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

一道数列题，结论要作为常识识记。

解析几何这道题，比较有趣，结论也比较有用，顺便复习一下三角形的性质，大家自己画图会清晰一点。

预备知识：

1. 在三角形中有重心、外心、垂心、内心、旁心这5个重要的点。

2. 重心：三角形的三条中线的交点，各中线被这点分成比为2：1的两部分；

3. 外心：三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形三顶点距离相等，外接圆圆心；

4. 垂心：三角形的三条高的交点，顶点、垂足、垂心7个点可得到6个四点圆；

5. 内心：三角形的三条内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，内切圆圆心，三角形面积=（内切圆半径*三角形周长）/2；

6. 旁心：三角形的任意两角的外角平分线和第三角的内角平分线的交点，到三角形三边所在直线的距离都相等，以此点为圆心且以到三角形一边所在直线的距离为半径的圆分别切三角形一边及其余两边的延长线，三角形有三个旁心。

7. 数域：设F是至少包含两个数的数集。如果F中任二数的和、差、积、商（除数不等于零）均仍属于F，则称F是一个数域。

参考资料：

1. 《数学分析教习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（黄宣国 编著）

3. 《初中数学竞赛教程（九年级）》（丁保荣 主编）

4. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）
   

数学分析——

例题（来自《数学分析教习题演练（周民强 编著）》）：设数列{an}满足an/n趋近于0，则lim（max{a1，a2，……，an}/n）=0。

思路——

1. an/n趋近于0，即对ε>0，存在自然数N1，当n>N1，|an/n|<ε，即|an|<nε；

2. 对于max{a1，a2，……，aN1}为一个常数，数列{max{a1，a2，……，aN1}/n}是一个无穷小，即对ε>0，存在自然数N2，当n>N2，|max{a1，a2，……，aN1}/n|<ε；

3. 当n>N1，|max{aN1+1，……，an}/n|<nε/n=ε；

4. |max{a1，a2，……，an}|=max{|max{a1，a2，……，aN1}|，|max{aN1+1，……，an}|}

5. 对ε>0，存在自然数N=max{N1，N2}，n>N，|max{a1，a2，……，an}/n|=max{|max{a1，a2，……，aN1}/n|，|max{aN1+1，……，an}/n|}<ε，即lim（max{a1，a2，……，an}/n）=0。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（黄宣国 编著）》）——三角形ABC中，O是外心，G是重心，H是垂心，求证：

a.OG=（OA+OB+OC）/3；OH=OA+OB+OC；

b.对锐角三角形ABC，弦AB分三角形ABC的外接圆圆周为1：2的两段圆弧，点N是小圆弧AB的中点。求证：CN垂直于OH。

证明——

a.

（1）

1. 设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线，G分AD长度比为2：1的两部分，即|AG|：|GD|=2：1，则AG=2AD/3；

2. 又AD=（AB+AC）/2，则AG=（AB+AC）/3；

3. 由1，2，OG=OA+AG=OA+（AB+AC）/3=OA+[（OB-OA）+（OC-OA）]/3=（OA+OB+OC）/3。

（2）

1. 先用平面几何知识证明，O，G，H三点共线，作出三角形外接圆及其直径BOE，有O为BE中点，OH与AD的交点记为G'；

   又D为BC中点，则OD为三角形BCE平行于EC的中位线，则OD=EC/2，OD平行于EC；

   由圆的性质可知，AE垂直于AB，CE垂直于CB；

   H是垂心，则CH垂直于AB，AH垂直于CB；

   则AE平行于CH，CE平行于AH，则四边形AECH为平行四边形；

   于是AE=HC，AH=EC；

   于是OD=EC/2=AH/2；

   又OD垂直于BC，则OD平行于AH，于是∠G'AH=∠G'DO，∠G'HA=∠G'OD，则三角形G'AH相似于三角形G'DO；

   于是DG'/AG'=OD/HA=OG'/HG'=1/2，故而G'记为G，三角形重心，且，OG/HG=1/2。

2. O，G，H三点共线，则OH=3OG=OA+OB+OC。

b.先把题设条件展开，再相互联系——

1. CH=OH-OC=OA+OB；

2. 由题，∠BON=∠AON=60°，又OB=ON=OA，易得三角形BON和三角形AON都是等边三角形，则四边形AOBN为梯形；

3. ON=OA+OB=CH；

   当ON与CH不重合时，四边形ONHC为平行四边形，又ON=OC，则，四边形ONHC为梯形，CN垂直于OH；

   当ON与CH重合时，则OH=0，CN垂直于OH。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）：

a.设F是至少含有两个数的数集。证明：如果F中任二数的差与商（除数不为零）仍属于F，则F必为数域。

b.设F是至少含有两个数的数集，且F对加法与乘法封闭。证明：如果对F中任意数a，-a也属于F；而且当a不为0时，a^（-1）也属于F，则F必为一个数域。

证明——

a.

1. 设a，b为F中任二数。由于F中任二数的差与商仍属于F，故a-a=0，0属于F；

2. 当b不为0时，b/b=1，1属于F，1/b属于F；

3. 0-b=-b属于F；

4. 则，a+b=a-（-b），a*b=a/（1/b）都属于F，即F对加、乘也是封闭的，从而F作成一个数域。

b.只需证F对减法与除法也封闭即可：

1. 对于a，b属于F，由于-b属于F，则a-b=a+（-b）属于F；

2. 当a不为0时，由于a^（-1）属于F，而F对乘法封闭，故b/a=b*a^（-1）属于F，即F对减法与除法也封闭，故F作成数域。

就到这里！