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其实简言之，这里的思想就是，以运算定义一个新的量，完了，确定旋转后依然保持形式统一，证明向量的加法和数乘还是向量。

第 11 章 矢量

&11.5.矢量代数

第一段：矢量用不同方式组合时的定律或法则——

1. 矢量相加：矢量a，坐标为(ax,ay,az)，矢量b，坐标为(bx,by,bz)，创造三个新的数(ax+bx,ay+by,az+bz)；

   在转动后，矢量a'，坐标为(a'x,a'y,a'z)，矢量b'，坐标为(b'x,b'y,b'z)，(ax+bx,ay+by,az+bz)随之变成(a'x+b'x,a'y+b'y,a'z+b'z)；

   在这个意义上定义矢量加法：c=a+b；

2. 法则：

1. 交换律：c=b+a；

2. 分配律：a+(b+c)=(a+b)+c。

第二段：a+b的几何意义：把b的“尾端”接到a的“顶端”一样，从a的“尾端”到b的“顶端”的箭头是矢量c。

第三段：用一个数α去乘一个矢量，定义一个新矢量，坐标为(αax,αay,αaz)。

第四段：

1. 矢量减法：d=a-b；

2. a-b的几何意义：从b的“顶端”到a的“顶端”画一个矢量就得到a-b。

第五段：为什么速度是矢量？如果位置是由三个坐标(x,y,z)给定，那么速度是什么呢？速度由dx/dt、dy/dt、dz/dt给出，这是不是矢量？dx/dt与dy/dt会按照与x和y同样的规律（转动后保持同形）变换，时间的微商是一个矢量，因而速度是矢量——v=dr/dt；

    形象解释：在一个短时间Δt内粒子运动了多远呢？Δr，如果一个粒子某一时刻在“这里”，而另一时刻跑到“那里”，那么用时间间隔Δt=t2-t1，去除位置的矢量差Δr=r2-r1，就得到“平均速度”矢量。

第六段：速度矢量就是在Δt趋近于零时，在t+Δt和t这两个时刻的矢径之差除以Δt的极限——

    ——速度是两个矢量之差，所以它也是一个矢量，因为它的分量是dx/dt，dy/dt和dz/dt，所以这也是速度的正确定义——将任一矢量对时间求微商，得到的是一个新的矢量。

    ——得到新矢量的方法：

1. 乘以一个常数；

2. 对时间求微商；

3. 两个矢量相加或相减。