【数学基础46】每天三道题(数学分析+解析几何+线性代数)
预备知识:
数列lim (1+1/n)^n=e,(1+1/n)^n<e.
公式:(axb)^2+(ab)^2=a^2b^2;
双重向量积:给定空间三向量,先作其中两个向量的向量积,再作所得向量与第三个向量的向量积,那么最后的结果仍然是一向量,叫做所给三向量的双重向量积。例如(axb)xc就是三向量a,b,c的一个双重向量积;
性质:(axb)xc是和a,b共面且垂直于c的向量;
(axb)xc=(ac)b-(bc)a;
拉格朗日恒等式:(axb)(a'xb')=(aa')(bb')-(ab')(ba');
(axb)x(a'xb')=(a,b,b')a'-(a,b,a')b'=(a,a',b')b-(b,a',b')a.
矩阵乘法运算律——
a.结合律:(AB)C=A(BC)
b.左分配律:A(B+C)=AB+AC
c.右分配律:(B+C)D=BD+CD
d.若A是n级矩阵,单位矩阵为E,则有:AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足:k(AB)=(kA)B=A(kB)
f.可逆方阵:设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使AB=BA=E,则称B为A的逆方阵,而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件:|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足:|AB|=|A||B|;
设A与B都是数域K上的n级矩阵,如果AB=E,那么A与B都是可逆矩阵,并且A^(-1)=B,B^(-1)=A。
A的伴随矩阵A*满足:A*=|A|A^(-1)
E(i,j)为单位矩阵i,j行对调——
方阵A可逆,A对调i,j行成B矩阵:B=E(i,j)A
方阵A可逆,A对调i,j列成B矩阵:B=AE(i,j)
矩阵的转置:把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置,记作A',|A'|=|A|。
定义:设A为方阵,若A'=A,则称A为对称矩阵,若A'=-A,则称A为反对称矩阵。
定义:如果AB=BA,则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
(A+B)'=A'+B'
(kA)'=kA'
(AB)'=B'A'
参考资料:
《数学分析习题演练》(周民强 编著)
《空间解析几何》(高红铸 王敬蹇 傅若男 编著)
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》(丘维声 著)
数学分析——
例题(来自《数学分析习题演练(周民强 编著)》)——
试求下列数列{an}的极限lim an:an=n^(p/n^k),(p,k都是自然数).
证:
由阿基米德原理,存在自然数m,使得mk>p;
lim p/n^k=0,且p/n^k>0;
n^k>=n>0,1=n^0<n^(1/n^k)<=n^(1/n),lim n^(1/n)=1,lim n^(1/n^k)=1;
由1,2:1=n^0<n^(p/n^k)<n^(mk/n^k)=[n^(1/n^k)]^mk,
lim [n^(1/n^k)]^mk=1,则lim an=1.
解析几何——
例题(来自《空间解析几何(高红铸 王敬蹇 傅若男 编著)》)——
设有非零向量a,b,c,如果a,axb,(axb)xc共面, 问a,b,c有什么关系?
解:
a,axb,(axb)xc共面,即(a,axb,(axb)xc)=0;
由1:
(a,axb,(axb)xc)
=(ax(axb))((axb)xc)
=((ba)a-(aa)b)((ac)b-(bc)a)
=(ab)(ab)(ac)-(aa)(bb)(ac)-(ab)(aa)(bc)+(aa)(ab)(bc)
=(ab)(ab)(ac)-(aa)(bb)(ac)
=0;
由2:(ab)(ab)(ac)=(aa)(bb)(ac),
即ac=0或(ab)(ab)=(aa)(bb);
若ac=0,则a垂直于c;
若(ab)(ab)=(aa)(bb),
则|a|^2|b|^2[cos∠(a,b)]2=|a|^2|b|^2,即[cos∠(a,b)]^2=1,即a//b;
所以a,b,c满足关系a垂直于c或a//b。
高等代数——
例题(来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材(丘维声 著)》)——
证明:如果n级可逆矩阵A的每一行元素的和都等于a,那么a不为0,且A^(-1)的每一行元素的和都等于a^(-1).
证:
用1n表示元素全为1的n维列向量,则A 1n=a 1n;
上式左乘A^(-1):1n=aA^(-1) 1n;
上式乘以a^(-1):a^(-1)1n=A^(-1) 1n;
于是a不为0,且A^(-1)的每一行元素的和都等于a^(-1)。
到这里!