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【数学基础46】每天三道题(数学分析+解析几何+线性代数)

2020-10-15 16:35 作者:躺坑老碧的学习瞎记  | 我要投稿

预备知识:

  1. 数列lim (1+1/n)^n=e,(1+1/n)^n<e.

  2. 公式:(axb)^2+(ab)^2=a^2b^2;

  3. 双重向量积:给定空间三向量,先作其中两个向量的向量积,再作所得向量与第三个向量的向量积,那么最后的结果仍然是一向量,叫做所给三向量的双重向量积。例如(axb)xc就是三向量abc的一个双重向量积;

  4. 性质:(axb)xc是和ab共面且垂直于c的向量;

  5. axb)xc=(acb-(bca

  6. 拉格朗日恒等式:(axb)(a'xb')=(aa')(bb')-(ab')(ba');

  7. axb)x(a'xb')=(abb')a'-(aba')b'=(aa',b')b-(ba',b')a.

  8. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律:(AB)C=A(BC)

    b.左分配律:A(B+C)=AB+AC

    c.右分配律:(B+C)D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵,单位矩阵为E,则有:AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足:k(AB)=(kA)B=A(kB)

    f.可逆方阵:设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使AB=BA=E,则称B为A的逆方阵,而称A为可逆方阵。

  9. 矩阵A可逆的充要条件:|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

  10. 矩阵对应行列式满足:|AB|=|A||B|;

  11. 设A与B都是数域K上的n级矩阵,如果AB=E,那么A与B都是可逆矩阵,并且A^(-1)=B,B^(-1)=A。

  12. A的伴随矩阵A*满足:A*=|A|A^(-1)

  13. E(i,j)为单位矩阵i,j行对调——

    方阵A可逆,A对调i,j行成B矩阵:B=E(i,j)A

    方阵A可逆,A对调i,j列成B矩阵:B=AE(i,j)

  14. 矩阵的转置:把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置,记作A',|A'|=|A|。

  15. 定义:设A为方阵,若A'=A,则称A为对称矩阵,若A'=-A,则称A为反对称矩阵。

  16. 定义:如果AB=BA,则称A与B可交换。

  17. 矩阵转置运算律——

    (A+B)'=A'+B'

    (kA)'=kA'

    (AB)'=B'A'

参考资料:

  1. 《数学分析习题演练》(周民强 编著)

  2. 《空间解析几何》(高红铸 王敬蹇 傅若男 编著)

  3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》(丘维声 著)

数学分析——

例题(来自《数学分析习题演练(周民强 编著)》)——

试求下列数列{an}的极限lim an:an=n^(p/n^k),(p,k都是自然数).

证:

  1. 由阿基米德原理,存在自然数m,使得mk>p;

  2. lim p/n^k=0,且p/n^k>0;

  3. n^k>=n>0,1=n^0<n^(1/n^k)<=n^(1/n),lim n^(1/n)=1,lim n^(1/n^k)=1;

  4. 由1,2:1=n^0<n^(p/n^k)<n^(mk/n^k)=[n^(1/n^k)]^mk,

    lim [n^(1/n^k)]^mk=1,则lim an=1.


解析几何——

例题(来自《空间解析几何(高红铸 王敬蹇 傅若男 编著)》)——

设有非零向量abc,如果aaxb,(axb)xc共面, 问abc有什么关系?

解:

  1. aaxb,(axb)xc共面,即(aaxb,(axb)xc)=0;

  2. 由1:

    aaxb,(axb)xc

    =(ax(axb))((axb)xc

    =((baa-(aab)((acb-(bca

    =(ab)(ab)(ac)-(aa)(bb)(ac)-(ab)(aa)(bc)+(aa)(ab)(bc

    =(ab)(ab)(ac)-(aa)(bb)(ac

    =0;

  3. 由2:(ab)(ab)(ac)=(aa)(bb)(ac),

    ac=0或(ab)(ab)=(aa)(bb);

  4. ac=0,则a垂直于c

  5. 若(ab)(ab)=(aa)(bb),

    则|a|^2|b|^2[cos∠(ab)]2=|a|^2|b|^2,即[cos∠(ab)]^2=1,即a//b

  6. 所以abc满足关系a垂直于ca//b

高等代数——

例题(来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材(丘维声 著)》)——

证明:如果n级可逆矩阵A的每一行元素的和都等于a,那么a不为0,且A^(-1)的每一行元素的和都等于a^(-1).

证:

  1. 1n表示元素全为1的n维列向量,则A 1n=a 1n

  2. 上式左乘A^(-1):1n=aA^(-1) 1n

  3. 上式乘以a^(-1):a^(-1)1n=A^(-1) 1n

  4. 于是a不为0,且A^(-1)的每一行元素的和都等于a^(-1)。

到这里!


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