A-1-3圆周运动

2023-08-29 15:21 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

1.3.1 圆周运动

转动

转动与平动是两种不同的运动。平动用位移x来描述，转动则用角度 $%5Ctheta$ 描述。 $%5Ctheta$ 的方向由右手定则确定：

四指沿着 $%5Ctheta$ 的转动方向，大拇指即为 $%5Ctheta$ 的方向。

需要注意的是，角度不是矢量：比如在右手系中，xy轴转到y轴，可以用 $%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20k$ 表示，再从y轴转到z轴，可以用 $%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20i$ 表示，整个过程相当于x轴直接转到z轴，用 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20j$ 表示。

明显

$-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20j%5Cne%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20i%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20k$

即角度的运算不满足平行四边形法则。但是如果我们将角度取了微分：

在下图空间直角坐标系中，AB为单位长度，将AB转到AC的位置，对应 $d%5Ctheta_1$ 大小等于BC，方向垂直于BC，用图中的 $%5Coverrightarrow%7BEF%7D$ 表示。

再将AC转到AD的位置，对应 $d%5Ctheta_2$ 用 $%5Coverrightarrow%7BFG%7D$ 表示。

而当AB直接转到AD，容易证明其矢量可以直接用 $%5Coverrightarrow%7BFE%7D$ 表示。

故

$d%5Cvec%5Ctheta_1%2Bd%5Cvec%5Ctheta_2%3Dd%5Cvec%5Ctheta_3$

这说明角度的微分为矢量。

匀速圆周

类比匀速直线运动，匀速圆周运动也是最简单的一种曲线运动。类比

$%5Cvec%20v%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x%7D%7Bdt%7D$

我们定义角速度

$%5Cvec%20%5Comega%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%5Ctheta%7D%7Bdt%7D$

匀速圆周运动中，转过的角度

$%5Ctheta%3D%5Comega%20t$

另外，在圆周运动中

$%E5%BC%A7%E9%95%BFl%3D%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92%5Ctheta%C3%97%E5%8D%8A%E5%BE%84R%EF%BC%88%E5%BC%A7%E5%BA%A6%E5%88%B6%EF%BC%89$

对两边同时求导得：

$%5Cdfrac%7Bdl%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%20R$

由此定义圆周运动的线速度：

$v%3D%5Comega%20R$

对应矢量式：

$%5Cvec%20v%3D%5Cvec%20%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20R$

其中 $%5Cvec%20R$ 从圆心指向物体。

匀变速圆周

类比 $%5Cvec%20a%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D$ ，我们定义角加速度

$%5Cvec%5Cbeta%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%5Comega%7D%7Bdt%7D$

当角加速度的大小一定时，物体做匀变速圆周运动，运动方程与匀变速直线运动类似：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Comega%3D%5Comega_0%2B%5Cbeta%20t%5C%5C%20%5Ctheta%3D%5Comega%20t%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbeta%20t%5E2%5C%5C%20%5Cdfrac%7B%5Comega_0%2B%5Comega%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7Bt%7D%3D%5Comega_%7Bt%2F2%7D%5C%5C%20%5Comega%5E2-%5Comega_0%5E2%3D2%5Cbeta%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

同理有线加速度

$a%3D%5Cbeta%20R%2C%5Cvec%20a%3D%5Cvec%5Cbeta%5Ctimes%5Cvec%20R$

自然坐标系

在圆周运动中，将运动沿切向和法向分解更为方便。

法向指法线方向，在圆周运动中由圆心指向物体，一般用 $%5Chat%20n$ 表示，切向沿着运动轨迹在该点的切线方向，一般用 $%5Chat%5Ctau$ 表示。

我们将这种跟着物体一起运动，由法向、切向构成的坐标系，称为自然坐标系。

在A-0-6中我们已经推导过圆周运动加速度的矢量式

$%5Cvec%20a%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v%2B%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Cdfrac%7B%5Cvec%20v%7D%7Bv%7D$

将加速度按自然坐标系分解，得：

$%5Cvec%20a%3D-%5Comega%20v%5Chat%20n%2B%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Chat%5Ctau$

第一项为向心加速度，沿着法向反方向，也可以表示为 $%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D%EF%BC%8C%5Comega%5E2R$ 。第二项为切向加速度，即线加速度。

一辆汽车沿一圆周轨道以 $v_0%3D7.0m%2Fs$ 的初速作匀减速行驶。经过 $t_1%3D5s$ 后，汽车的加速度与速度之间的夹角 $%5Ctheta_1%3D135%C2%B0$ .又经过 $t_2%3D3s$ ,其加速度与速度之间的夹角 $%5Ctheta_2%3D150%C2%B0$ 。求:

1)圆轨道半径R；

2)切向加速度的大小 $a_%5Ctau$ ;

3)这两时刻( $t_1$ 和 $t_1%2Bt_2$ 时刻)的法向加速度 $a_%7Bn1%7D%E5%92%8Ca_%7Bn2%7D$ .

代入匀变速转动公式：

t=5s时，

$v_1%3D7-5a_1%EF%BC%8Ca_%7Bn1%7D%3D%5Cdfrac%7B(7-5a_1)%5E2%7D%7BR%7D$

t=8s时，

$v_2%3D7-8a_1%EF%BC%8Ca_%7Bn2%7D%3D%5Cdfrac%7B(7-8a_1)%5E2%7D%7BR%7D$

由上图矢量关系：

$%5Cdfrac%7Ba_%7Bn1%7D%7D%7Ba_1%7D%3D%5Ctan(%5Cpi-%5Ctheta_1)%2C%5Cdfrac%7Ba_%7Bn2%7D%7D%7Ba_1%7D%3D%5Ctan(%5Cpi-%5Ctheta_2)$

解得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%5Ctau%3D0.40m%2Fs%5C%5C%20R%3D6.25m%5C%5C%20a_%7Bn1%7D%3D0.40m%2Fs%5E2%5C%5C%20a_%7Bn1%7D%3D0.23m%2Fs%5E2.%20%5Cend%7Bcases%7D$

1.3.2 刚体转动

刚体，指不发生形变的物体，和质点一样，是一种理想模型。刚体上任两点之间的距离始终保持不变。

自由度

自由度指确定一个刚体位形所需最少的参量个数，这里的参量可以是长度，也可以是角度。

1.点

描述一个质点在空间的位置，需要3个坐标。一个点的自由度就是3.

2.杆

对杆而言（不计粗细），先确定一个端点，自由度为3，再确定另一个端点，只需让杆从初始位置沿x，y平面旋转一个角度，再沿垂直平面方向旋转另一个角度，就可以确定杆后来的位置了。杆的自由度是5.

3.板

对一个三角板而言（不计厚度），先确定一条边的位置，自由度为5，再确定板相对于这条边旋转的角度即可，所以一个三角板的自由度是6.

4.其他刚体

对于其他刚体，只需要确定上面3个不共线的点，这个物体的位置就被唯一确定了（比如立方体的3个顶角）。其他刚体自由度都是6.

平面平行运动

不同类型的刚体运动，具有不同的自由度。我们主要研究刚体的平面平行运动，即刚体上每点都在一个平面内运动。与平面垂直的同一垂线上，所有点的运动形式都相同，我们只需要研究刚体与平面的截面。此时刚体的运动具有3个自由度。

如上图：刚体从1到2的运动，可以看成C点先运动到C'点，然后刚体绕C'点转到2。还可以看成B点先运动到B''点，然后刚体绕B''点转到2，易知两次转动角度相同。

我们分别将上面的B点和C点称为参考点，刚体上任一点的运动都可以分解为参考点的平动加上绕参考点的转动，且转动与参考点的选取无关，选不同的参考点，刚体的角位移，角速度和角加速度都相同。

瞬时转动中心

在上图中，如果把参考点选在O点，刚体直接从1转动到2。当转动角度无限小时，O点就是此时的瞬时转动中心（速度瞬心）。

速度瞬心的位置可以这么确定：

如下图，已知刚体上A,B两点速度，由于A点绕瞬心做圆周运动，速度 $%5Comega$ 一定与OA垂直，反而言之，O点一定在过A点的 $v_1$ 的垂线上，同理，O点也在过B点的 $v_2$ 的垂线上，两垂线交点即为瞬心的位置。

特殊的，当两垂线重合时，由于A、B绕O转动的角速度相等，有

$%5Cdfrac%7BOA%7D%7BOB%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7Bv_2%7D$

由此可确定瞬心位置。

如下图所示，轮子在水平面上以角速度 $%5Comega$ 做纯滚动，已知轮子的质心速度为 $v_C$ ，试求轮边缘上A点的速度和切向加速度，A点的位置用 $%5Ctheta$ 表示。

纯滚动是指，轮上与地面接触点与地面无相对滑动，地面速度为0，故D点速度也为0.D点速度可以分解为C的速度和相对C的转动速度：

$v_D%3Dv_C-%5Comega%20R$

代入 $v_D%3D0$ ，得

$v_C%3D%5Comega%20R$

故C点做匀速直线运动，加速度为0.

同理，A点的运动也可以看成C的运动和A相对C运动的合成。

$v_A%3Dv_C%2Bv_%7BAC%7D$

由于 $v_%7BAC%7D%3D%5Comega%20R%3Dv_C$ ，有

$v_A%3D2v_C%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D)%3D2v_C%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

A的加速度也可以类似分解：

$a_A%3Da_C%2Ba_%7BAC%7D$

其中 $a_C%3D0%EF%BC%8Ca_%7BAC%7D%3D%5Comega%20v_C$ ，方向沿AC.

需要注意的是，切向指的是A的实际速度方向，而不是在A点圆的切线。故

$a_%7BA%5Ctau%7D%3Da_A%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D)%3D%5Comega%20v_C%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

这道题A点的速度也可以用速度瞬心求解：由于D点速度为0，D为刚体的瞬时转动中心，

$v_A%3D%5Comega%5Ccdot%20DA%3D%5Comega%5Ccdot2R%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

一半径为R的圆盘A以角速度 $%5Comega_1$ 绕其固定的轴 $O_1$ 匀角速转动，另一半径为r的圆盘B沿A的盘边作无滑动滚动，它绕自己的轴 $O_2$ 以角速度 $%5Comega_2$ 匀速转动.试求B绕A运动一周所需的时间.

B绕A运动一周的时间，指的是 $O_2$ 绕 $O_1$ 运动一周的时间，所以我们要算出 $O_2$ 的线速度。

假设B上与A接触点为C，因为B与A之间为纯滚动，故

$v_C%3D%5Comega_1%20R$

C的运动又可以看成 $O_2$ 的平动加上相对 $O_2$ 的转动，故有

$v_C%3Dv_%7BO_2%7D-%5Comega_2%20r$

联立两方程，得

$v_%7BO_2%7D%3D%5Comega_1R%2B%5Comega_2%20r$

故B绕A运动一周的时间

$t%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%20O_1O_2%7D%7Bv_%7BO_2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%20(R%2Br)%7D%7B%5Comega_1R%2B%5Comega_2%20r%7D$

加速度瞬心

刚体转动加速度 $%5Comega$ ，角加速度 $%5Cbeta$ .已知刚体上点A加速度为 $a_A$ ，P为加速度瞬心，则

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_A%5Csin%5Ctheta%3D%5Cbeta%20%5Ccdot%20PA%5C%5C%20a_A%5Ccos%5Ctheta%3D%5Comega%5E2%5Ccdot%20PA%20%5Cend%7Bcases%7D$

解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Ctan%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B%5Cbeta%7D%7B%5Comega%5E2%7D%5C%5C%20PA%3D%5Cdfrac%7Ba_A%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cbeta%5E2%2B%5Comega%5E4%7D%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$