「线性」从全等到同构，为何两者符号相同

一、准备工作

1.说起直线

一提线性，大家会想到什么？我想最朴素也最自然的想法就是一根直线，一个一次函数。那直线或者说一次函数的本质又是什么呢？ 一条直线之所以是直的而不是曲的与其本身的性质有关系。想象一下，如果一堆点想要乖乖的排成直线，那就需要它们在同一个角度冲着同一个方向去排列。我们知道在一次函数中k决定了其斜率的大小，而一次函数的结构是kx+b，二次函数是ax²+bx+c，两者的区别在于二次函数有x*x，或者说有两个

文字

之间的相乘，我们一般叫其

乘法

。ps：而k*x这种

数

与

文字

之间的乘法叫做

数量乘法

。所以就是因为只有数乘和加法，所以这个才是直的而不是弯的。

2.运算的定义

一提线性，那么其有关的运算无非就这几种种：“+”（类加法），“·”（数乘），“×”（类乘法）。而其中类加法与类乘法满足封闭性，类加法满足交换、结合、存在单位0、有逆元的四个性质，数乘满足结合、单位1，对类加法的分配，对加法的分配。 既然有运算了，那么运算的对象就必不可少。上文中的文字是运算的对象，而文字不局限于一个数，它可以是矩阵，可以是多项式，也可以是一个有序数组，甚至是满足上面性质的抽象符号。而将数乘与类加法组合起来，形如k1x1+k2x2+……+knxn，我们将其称为

线性组合

。

二、图形与映射

1.映射

映射是一种法则，它把一个东西经过一系列变换到了另一个东西，其中函数就是一种映射，它是由自变量x映射到因变量y。也就是说，每一个x如果对应了唯一的一个y，那么这个f就是映射 有一种特殊的映射，它不光每一个x可以对应唯一的一个y，反过来每一个y都可以对应唯一的一个x，即

x与y一一对应

，那么我们称这种映射为

双射

。 2.将图形间的等价

图形可以放大缩小，可以旋转平移，这些都可以看成一种映射。 如果说将图形进行映射，那么映射后的图形和原图形是什么关系？在说是什么关系之前我想应该说一下都有什么关系，但是受限于篇幅，这里只说一下

等价关系

：满足自反性、对称性和传递性。

自反性：A≌A

对称性：如果A≌B,则B≌A

传递性：如果A≌B,B≌C,则A≌C

ps：这里的“≌”为一个抽象的符号，不一定是全等，可以看成为一堆映射的集合，而这些映射都有一些公共的特点（其实这个就是关系），所以也可以这么看：

自反性：存在一个映射f∈α,使得A＝f（A）,其中α为一种关系（映射的集合），下面α同样。

对称性：如果A＝f（B）,则B＝g（A）,f、g∈α

传递性：如果A＝f（B）,B＝f（C）,则A＝h（C）,f、g、h∈α 如果满足上述三条，则这个关系为

等价关系

所以如果将旋转看成一种映射，旋转角度不同，映射不同，而这一群映射共同组成了一种关系，就是你是由我旋转得到的，这个就是一种关系。其实这些映射的集合就构成了一种等价关系，为了让读者方便易懂，下面我们不太严谨的说一下证明。

其实证明等价只需证那三条就行了。

自反性：有一个映射是旋转360°，可以让原来的图形保持各种因素不变 对称性：如果一个图形A顺时针转了a°变了另一个图形B，我们可以将B再逆时针旋转a°变成A 传递性：旋转两次的过程可以合并成为旋转一次 如此可见，旋转前后的图形确实是有等价。同时我们也可以证明平移变换前后的图形也是等价，从而

全等是一种等价关系

，即

自反性：A≌A

对称性：如果A≌B,则B≌A

传递性：如果A≌B,B≌C,则A≌C

三、同构与全等

1.同构的定义

对于两个线性空间V,V'，如果有一个双射f：V→V'，且可以保持线性关系，即f（a+b）＝f（a）+f（b），f（ka）＝kf（a），a、b∈V，则称V与V'同构。 可以看出，f就像一面镜子，照镜子的人是V，而镜子中的像是V'，你的鼻子眼睛等等组成了脸，映到了镜子中的鼻子眼睛等等也组成了脸。可见同构间的两个东西都具有同样的性质，双方的鼻子眼睛等等都能构成脸。 2.照镜子的图形

同样，如果把一个图形看成一个V的话，那么我们可以将全等看做成一个图形在照镜子，而镜子中的像与原图形全等。全等后的图形可能会平移，可能会旋转，但是他们的结构和性质是类似的，所以

几何中的全等又何尝不是一种同构呢。

将几何与代数看做一种东西，这件事其实在解析几何上就已经是这么做的了。那些抽象的代数就相当于是凝练的几何，虽然失去了可观察的性质，但是他却是接近不可观察图形的钥匙。