【毕导】这个视频里说的都是真的，但你却永远无法证明

写一些相关的补充内容、FAQ、趣闻等。虽然热度可能过了，不会被很多人看到。

1. 希尔伯特在这个故事里简直像个“反派”，被横空出世的哥德尔打倒。其实不是这样的。希尔伯特是那个年代最伟大的数学家之一，他提出的希尔伯特二十三问汇集了当时数学最重要的发展方向，为数学发展指明道路。对这23个问题及其发展感兴趣的同学，可以去知乎搜相关问题。

希尔伯特本人其实很谦逊。数学上有一类重要的空间称为希尔伯特空间，但这个名字并不是他本人起的，他本人反倒很不好意思，称之为“那个”空间。

另一则逸闻是，有一次小班研讨，学生引用了一个定理。希尔伯特说，“这个定理真妙啊，是谁证明的？”学生说，“是您”。

2. 哥德尔和爱因斯坦是忘年交，两人常在普林斯顿校园内散步。

3. 一个常见问题：我们证明了“命题P为真但不能被证明”，这难道不是一种对命题P的证明吗？注意我们的证明假设了公理系统一致，所以其实我们证明的是“若假设公理系统一致，则存在命题P为真，但不能被公理系统本身证明”。由于我们不知道公理系统是否一致，所以这相当于做题的时候额外加了条件，当然不能算是在原本的公理系统内证明。

一个更进一步的诘难是这样的：如果公理系统一致则p为真，如果公理系统不一致则根据爆炸原理p也为真，这不就是在公理系统内证明了p为真吗？其实，哥德尔定理中的一致比我们说的一致要强一些，他要求的是ω-一致。你可以理解为ω-一致则一定一致，但一致不一定ω-一致。至于什么是ω-一致，这超出了科普限度（我坦白，我其实也理解的也不太清楚）。

因此我们证明的其实是，若公理系统ω-一致则p为真。另外我们知道若公理系统不一致则p为真，但是我们不知道如果公理系统一致但是不ω-一致时，p是什么情况（事实上定理说明，我们证明不了p是真是假），因此也就不知道在公理系统本身中p是真是假。

4. 不要过度夸大哥德尔定理的意义，过度上升到哲学层面。这部分内容经常容易引发很多民科的滥用和过度发散，我们要格外注意。其实它也只不过是一条数学定理，不意味着数学大厦的崩塌，也不意味着数学丧失意义。思考这方面问题的时候，一定要回归数学的描述，不要口胡，口胡就容易陷入民科。

5. 哥德尔定理是不是表明数学“不完美”了？是也不是。初一看，不是所有命题都能被证明真假，甚至不能证明有没有矛盾，这不是坏了事了么？其实，这反倒为数学打开了一扇新的大门。

类比隔壁物理学，漂浮在物理学大厦上的两朵乌云给牛顿力学撕开了一道口，但我们来不及为牛顿力学惋惜，因为撕开的这道口的外面，是更精彩更广阔的物理世界。

在哥德尔的基础上，数学其实是变得更灵活了，我们可以有很多“不同”的数学。这方面的内容我不知道怎么扩展，因为太多了。

6. 我们不能证明公理系统自身的一致性，那涉及到一致性的问题我们是不是就彻底麻爪了？绝对不是，这方面的数学特别深邃也特别精彩。

比如说，ZF公理系统（现在大家都在用的集合论公理系统，可以规避罗素悖论、康托悖论等）我们不能证明它是否一致。它加一个选择公理，叫ZFC公理系统（视频里提到了），也不能证明是否一致。但是！我们能证明“如果ZF一致，则ZFC一致”。类似这种假设一个一致推出另一个一致的证明方法，有一种通用方法叫“力迫法”。发明力迫法的科恩获得了数学界的最高奖项，菲尔兹奖。

关于选择公理方面的内容，也特别有意思，感兴趣的观众可以搜塔斯基分球悖论。

7. 如果我们不能证明包含算术的公理系统没有矛盾，凭什么我们相信现在的数学？

我对这个问题的想法是，即便目前的数学不一致，我们也能把它修补好。这是一个发展的过程。而且，大部分现在的数学都应该能迁移到我们修补好的那套新的数学中。

关于这个问题的更深层次讨论，可以去知乎搜索“为什么我们相信ZFC是一致的”。

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好啦，就写这些吧。我中午起床速看了一下视频，发了条评论，侥幸上了热评。但那条评论的内容并不充分，所以我觉得我得提供更多的内容才行，虽然不知道这条笔记有没有机会被看到。我本人其实不是数学专业的，而是计算机专业的。但是这方面内容和理论计算机关系很深（其实理论计算机是数学的分支），所以有所了解。但毕竟非常业余，如有错处，望不吝斧正。