【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十章机械能

【山话||  本篇专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；而老教材中的重量单位公斤，如今是用力单位牛顿表示，而如今的力是不使用公斤为单位的】 

§10-1功

【01】我们已经讨论过牛顿运动三定律，并且在这个基础上，引入了动量和冲量这两个重要概念以及动量定理和动量守恒定律，使我们对于质点动力学的知识得到了发展.

【02】本章要讨论质点动力学在另一方面的发展。我们仍将以牛顿运动三定律为基础，引入功、动能和势能这三个重要概念，并且还将阐明力学范围内的能量守恒定律，即机械能守恒定律。

【03】最后还将简要地介绍一下能量守恒和转换定律，这是自然界中最普遍的规律之一。

【04】功的概念是从人类长期劳动实践中产生的。例如，我们从井中提水（图10·1），就说我们在做功；水桶越重，井越深，我们就说所做的功越大。

【05】又如用水平力推小车前进（图10·2），也说我们在做功；用力越大，前进的路程越远，我们就说所做的功越大。

【06】功和日常生活中常常讲到的“工作”很相似。但“工作”的含义比较广泛，它是指用体力劳动或脑力劳动来完成的任何一种活动来讲的。但在物理学中，功的含义要狭窄得多，可是比较确定。

【07】那么，功的含义究竞是什么呢？我们来分析上面讲的两个例子。

【08】从井中提水，我们要用力，并且使水桶在力的方向上通过了一段路程。水桶越重，我们所用的力越大；井越深，水桶沿力的方向（竖直向上）通过的路程越长。

【09】用水平力推小车前进，我们也要用力，小车也在力的方向上通过了一段路程。车越重，我们所用的力越大；推得越远，小车在力的方向上通过的路程越长。

【10】从上面的分析中可以看到，功是由两个因素决定的，一个是作用力，一个是物体在力的方向上通过的路程。而且作用力越大，做的功也越大；物体在力的方向上通过的路程越远，做的功也越大。

【11】在物理学中，我们规定：功的大小等于力和受力物体在力的方向上所通过的路程的乘积。

【12】如图10·3所示，如果用 F 代表力，S 代表受力物体在力的方向上通过的路程，W 代表力所做的功，则 W=FS  。

【13】读者必须注意：力和受力物体在力的方向上通过的路程，是功的不可缺少的两个因素。如果力作用在一个物体上，而物体没有在力的方向上通过一段路程，那么这个力就没有做功。例如，一个人提了一桶水站着不动，虽然他用了力，并且很累，但是他并没有做功（或者说他用的力没有对水桶做功）。如果他提着水桶在水平的地面上走，他也没有做功，因为提水桶的力是竖直向上的，在竖直方向上水桶并没有通过一段路程。这好比一个在水平桌面上滚动的小球，重力对小球没有做功一样（图10·4），因为重力是竖直向下的，而小球只是在水平桌面上滚动，在重力方向上没有通过路程。

【14】如果物体由于惯性而作匀速直线运动，这时根本没有力的作用，当然也谈不到做功。

【15】上面这个公式 W=FS，只是在作用力和物体运动方向一致时才适用。例如，用水平力推小车时，所用的是水平方向使车前进的力，小车运动的方向也是水平前进的。从井中提水时，所用的力是竖直向上的，而水桶运动的方向也是竖直向上，但是最常见的情形是作用力的方向和物体运动的方向成一角度，人拉滚子压地就是这种情形的一个例子（图10·5）。

【16】在这种情形下，我们把力 F 分解成为两个分力：与路程垂直的力F₁，和与路程平行的力F₂（图10·6）。合力 F 所做的功等于分力 F₁ 和 F₂ 所做的功之和。当物体通过的路程等于 S 时，与路程垂直的分力 F₁ 没有做功，因为在F₁的方向上物体没有通过路程。在路程方向上的分力 F₂ 所做的功等于 F₂S  。因此，力 F 所做的功 W 就等于 F₂S  。由于F₂=Fcosα，所以W=FS cos α  。

【17】这就是说，在一般情形中，功等于力、路程以及力和路程之间的夹角的余弦的乘积。

【18】由此可见，功的大小不仅与作用力和路程的大小有关，而且还与力和路程之间的夹角有关。下面，我们讨论几种情况：

【19】(1)如果 α＜π/2 ，则 cosα > 0，因而 W > 0，是正值。这说明，如果力沿路程方向的分力与路程同方向，这时作用力是推动物体运动的力，我们说：作用力（或产生这个力的物体）对运动物体做正功。例如人拉滚子压地就是这种情形。特别是如果 α=0，则 cosα=1，因而W=FS，这就是前面所讲的力的方向和物体运动方向一致的情形。

【20】(2)如果 α＞π/2 ，则 cosα < 0，因而 W < 0，是负值。这说明，如果力沿路程方向的分力与路程反方向，这时作用力是阻碍物体运动的力，我们说：作用力（或产生这个力的物体）对运动物体做负功。例如当物体作竖直上抛运动时，运动的方向和重力的方向相反（即α=π），因而重力对运动物体做负功。当一个力做负功时，这个力总是阻碍物体的运动的，我们也常说：运动物体克服这个阻力做功。例如物体作竖直上抛运动时，我们就可以说：物体克服重力做功。

【21】(3)如果 α＝π/2 ，则 cosα＝0，因而 W＝0  。这说明作用力和路程垂直时，力不做功。例如前面已经讲过的在水平桌面上滚动的球，重力没有对它做功。

【22】读者必须注意，上面我们讲的力做正功或负功，只是说明在研究功的问题时，要注意谁在做功，而决不能说功也是一个矢量。功是一个标量。正功和负功不是表示功有方向，它表示作用力对物体做功还是物体克服这个作用力做功。

【23】最后我们来讨论一下功的单位，很明显，功的单位是由作用力与路程的单位组成的。

【24】在厘米·克·秒制中，功的单位是1尔格。1尔格就是用1达因的力使物体在力的方向上通过1厘米路程所做的功，1尔格=1达因×1厘米=1达因·厘米=1克·厘米²/秒²。

【25】在米·公斤·秒制中，功的单位是1焦耳，1焦耳就是1牛顿的作用力使物体在力的方向上通过1米的路程所做的功，1焦耳=1牛顿×1米=1牛顿·米=1公斤·米²/秒²。

【26】因为1牛顿=10⁵达因，1米=100厘米，所以1焦耳=1牛顿·米=10⁵达因×100厘米=10⁷达因・厘米，即1焦耳=10⁷尔格。

【27】在工程技术中，常用1公斤·米作为功的单位。1公斤·米就是1公斤的力使物体在力的方向上通过1米的路程所做的功。

【28】1公斤·米=1公斤×1米=9.8牛顿×1米=9.8牛顿·米，即1公斤·米=9.8焦耳。【山注||  这个单位如今是错误的，其本质还是用公斤作为力的单位，现在工程上早已不使用公斤·米这个功的单位，不过老工程师的确偶尔还会用】

例1.一个重3公斤的物体从某一高度自由落下。物体落到地面时的速度是20米/秒。求重力所做的功。计算时取g=10米/秒²，不考虑空气阻力。

【解】应用自由落体的运动公式求这个物体落下的高度h，即用v²=2gh，求h，20²=2×10h，

∴ h=20米。

        物体是在重力的作用下落下来的，它的运动方向和重力方向一致，所以重力所做的功 W 为W＝3公斤×20米＝60公斤·米＝600焦耳。（g取10）

习题10-1

1、试证明1焦耳=10⁷尔格，1公斤·米=9.8焦耳。

2、汽车开上斜坡时，一共受到几个力的作用？哪些力对汽车做功？哪些力对汽车没有做功？汽车在克服哪些力做功？

3、一个竖直上抛的物体在抛出后经过3秒钟到达最高点。物体的质量是500克。试计算物体在上升过程中克服重力所做的功。计算时取g=10米/秒²，不考虑空气阻力。【225焦耳】

4、刨床在工作时，如果推动刨刀的动力作功120公斤·米，刨刀移动的距离是12厘米，求刨刀所克服的阻力。【1000公斤】

5、马拉车用力100公斤，与水平方向成30°角，车行2公里，求马所做的功。【】

6、一根钢梁长5米，横截面为50厘米²，用起重机把它竖直地举高15米，求起重机对钢梁所做的功。已知钢的比重是7.8克/厘米³。【2925公斤·米】