什么是一元微积分？

牛顿331、什么是一元微积分？

 

微分（百度百科）：

…微、分、微分：见《牛顿321~330》…

 

…

定义

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

设函数y=f（x）在x的邻域内有定义，x及x+Δx在此区间内。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

如果函数的增量Δy=f（x + Δx）—f（x）可表示为Δy= AΔx+o（Δx）（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f（x）在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

…o：英文名Omicron（大写Ο，小写ο），是第十五个希腊字母。

小写ο用于：高阶无穷小函数…

（…阶，无、穷、无穷，小，无穷小，高阶无穷小：见《牛顿280~282》…）

…常、量、常量：见《牛顿64》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

[在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小（证明见《牛顿309》）]

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx。

函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

…量：见《欧几里得27》…

…商：见《牛顿284》…

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

 

一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′（X）dX。例如：d（sinX）=cosX·dX。

 

求大神赐教什么是一元微积分？——网友提问

 

2017-09-20，sumeragi693：一元微积分是一元微分和一元积分的统称，其中元指的是自变量的个数，一元就表示只含有一个自变量的函数f（x）。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

…直、接、直接：见《欧几里得34》…

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

 

微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…结、果、结果：见《牛顿105》…

…运、用、运用：见《伽利略29》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…思、想、思想：见《欧几里得154》…

 

∵ Δy= AΔx+o（Δx），A是不随Δx改变的常量（但A可以随x改变），o（Δx）是比Δx高阶的无穷小。

 ∴ 当△x→0时，△y≈dy。

 

导数的记号为：dy/dx=f′（X），我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值。

导数还可表示为dy=f′（X）dX。

 

几何意义

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

 

设Δx是曲线y=f（x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

…切、线、切线：见《牛顿288》…

 

当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

“需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。

然而，画出来的切线是有误差的。

也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。

请看下集《牛顿332、画出来的切线有误差；代数法求点的斜率；微分基本公式推导》”

 

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