本文由@ASHL1撰写，由我帮忙代投。

    这是我第一次做这一类型的东西，如有错误或不严谨的地方，还请指正。

前言

    求解一元三次方程是人们比较感兴趣的问题，著名的方法有卡丹公式和盛金公式，而盛金公式比卡丹公式更加简洁直观。

    卡丹公式和盛金公式已经有很多人推导过了，b站上就有不少视频和专栏，感兴趣的可以自行搜索。但是盛金公式后面还有个经常被人忽略的东西，就是盛金定理。很多人只推导了盛金公式，但是没有证明盛金定理（虽然这不影响公式的使用）。这篇专栏主要为了证明盛金定理。

证明

盛金定理1:当时,若,则必定有

    证明:

    

    

    

    

    

    

盛金定理2:当时,若,则必定有

    证明:

    

    

    

    

    

盛金定理3:当时,则必定有

    证明:

    

    

    当时,

    

    当时,

    

    

盛金定理4:当时,若,则必定有

    证明:

    

    

盛金定理5:当时,则必定有

    证明:

    设

    则

    

    当时,

    则方程无实根

    此时不存在极值点

    结合图像可知,方程的解为一个实根,两个虚根

    

盛金定理6:当时,若,则必定有

    证明:

    

    

    

    

    

盛金定理7:当,若,盛金公式3一定不存在的值

    证明:

    若方程有三重根,则必有

    当时,方程不存在三重根

    此时方程根的情况为三个实根,其中有二重根

    设

    则

    

    此时函数有两个极值点

    

    

    不存在的值

盛金定理8:当,盛金公式4一定不存在的值

    证明:

    设

    则

   

   

    方程有三个不相等的实根

    结合图像可知,此时函数有两个极值点

    

    

    不存在的值

盛金定理9:时,盛金公式4一定不存在或的值,即出现的值必定是

    证明:

    在盛金公式4中的推导中有

    

    

后记

    盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式求解。

    相比于盛金公式，盛金定理的证明要容易的多，但它在验证盛金公式的正确性上起着重要作用。

参考

    1.