毕达哥拉斯与调和

调和(harmonic)这个术语在数学中出现多次，很多人事实上不知道为何“调和”命名为“调和”。

如果懂得英语的朋友，看到harmonic(和声)。应该意识到调和(harmonic)与音乐有关。

这个术语的确是由于研究音乐而产生的。

而研究音乐与数学间的关系，并从中发现调和级数，这不能不提“毕达哥拉斯学派”。

毕达哥拉斯(Pythagoras)

毕达哥拉斯，是公元5世纪古希腊数学家、哲学家，出生与爱琴海的萨摩斯岛的贵族家庭。

因向往东方的智慧，曾游历了巴比伦，吸收了美索不达米亚文明文化。后来他到意大利南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒组成了“毕达哥拉斯学派”的政治和宗教团体。

毕达哥拉斯学派，认为“万物皆数”，企图用数来解释一切。这里的“数”指的是整数和分数，及有理数。

在这个“万物皆数”的信条下，毕达哥拉斯学派还研究了音乐。

音乐与调和

毕达哥拉斯学派发现如果将一根拨弦时发出中央C音的弦，它的长度剪至原来的2/3，这根弦便能发出G音符。如果弦的长度减半,它将发出高音C，即高出一个倍频程。这些音符和它们对应的弦长构成了一个数列。

将这些数字取倒数，得到一个等差数列。

若数列中每个元素取倒数形成等差数列，则称该数列为调和数列。

调和点列

接下来，我们来看调和点列这个概念，若形成调和数列，则我们称为调和点列。即

注意这里AC,AB,AD都是有向线段，有正负。

因此我们可以有如下关系成立

将上面的等式带入到调和点列的定义，得到如下等式成立。

这样，容易得到如下等式成立。

即

这样，我们就得到了如下等式成立

注意，这里我们为了形式上的一致性，我们调整了线段CB,DB的方向使之为BC,BD。

写成交比的形式为

则也就是今天调和点列的定义。接下来还有一些附带的术语，一并在这里说明一下。

若交比,我们称为的第四调和点，称为调和点列，又称调和分割或和调和共轭。

对于熟悉数学竞赛的同学来说，听到调和点列，应该自然的想到完全四边形，另外对于二次曲线来说，极点(pole)和极线(polar)的概念和调和点列的概念也有很深的渊源。

事实上，完全四边形和二次曲线也是有着很深的联系。

这部分内容就留到后面了。