【直线第一课】看似“简单”却“坑点满满”的直线大总结！| 高中数学大合集
神奇小猪 | 直线的倾斜角与斜率
1️⃣倾斜角与斜率的定义
倾斜角：x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角，α∈【0，π）
斜率：k =tanα（a≠kπ+π/2）
直线的斜率：k =tanα =y₁-y₂/x₁-x₂
倾斜角和斜率不一定完全对应：kπ+π/2
- 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率
判断
直线的倾斜角为α，则sinα > 0（x）
- α=0，sinα=0
斜率相等的两直线的倾斜角一定相等（✓）
若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率必为tan α（x）
- kπ+π/2
若直线的斜率为tanα ，则直线的倾斜角必为α（x）
- 斜率有可能+2kπ
直线一般式：Ax+By+C = 0
倾斜角怎么坑你
他说有倾斜角，但是没有说有斜率
分类讨论：
一、存在k
把直线的一般式换成y=kx +b的形式
k= -1 /2(sin²α-1) =1 /2(1-sin²α) =1/2cos²α
同时k =tanα =sinα / cosα
sinα / cosα = 1/2cos²α
两边同时乘以cosα
sinα = 1 /2cosα
- 2sinαcosα =1
- 二倍角公式：sin2α =1
- 三角学过：sinπ/2 =1
- 那么2α =π/2
- 也就是说α =π/4
二、不存在k
当斜率k=tanα，α取π/2时，不存在斜率k
也就是x+2(sin²π/2-1)y +1 =0
- y前面的系数是0
- 也就是x+1 =0
- x= -1：他是一条直线
综上，答案是π/4 或π/2
2️⃣直线的平行与垂直
平行一定斜率相等，斜率相等不一定平行（还有可能重合）
两条直线垂直，斜率相乘为-1
平行垂直怎么坑你
如果直线x+2αy -1=0与直线(3α-1)x-4αy-1=0平行，则α等于
A. 0
B. -1/3
C. 0或-1/3✓
D. 0或1
核心方法：k₁=k₂
换成y=kx+b
一、α≠0
k₁ =-1 /2α k₂=3α-1 /4α
- 让他们相等
- a =-1/3
二、不存在k
也就是没有y，在这题里也就是α=0
若直线ax +2y +6 =0和直线x +a(a+1)y +(a²-1) =0垂直，则a的值为
核心方法：k₁·k₂ =-1
换成y=kx+b
一、α≠0
k₁ =-α/2 k₂ = -1 /α(α+1)
- 让他们相乘=-1
- α =-3/2
二、不存在k
第一条直线：α=0，y= -3
第二条直线：x=1
综上，α的值为-3/2或0
本题建议用画图法
直线l的倾斜角的取值范围：
k₁ =y₁-y₂/x₁-x₂ =-1，α=3π/4
k₂ =y₁-y₂/x₁-x₂ =√3，α=π/3
α∈【π/3，3π/4】
直线l的斜率k的取值范围：
首先k从（-∞，+∞）开始考虑
k∈（-∞，-1】∪【√3，+∞）
不能构成三角形：三点共线
任何两点斜率相等，k₁ = k₂
kAB = y₁-y₂/x₁-x₂ = -3/2
kBC = y₁-y₂/x₁-x₂ = -t+4/4 =-3/2
- 解得 t=-10
三条直线不能构成三角形：
一、其中两条直线平行
k₁=-1/2α
k₂=-3
k₃=2
A、k₁ = k₂
α=6
B、k₂ = k₃
α=-4
二、三条直线汇集在一点
联立求解，x= -2/5，代入第二（三）条直线
y= 1/5
再将（-2/5,1/5）代入到第一条直线
α= -3/2
