【现代计算机图形学】002-变换

二维变换：

我们要把矩阵和变换联系起来。

举个例子：我们缩放一张图片，我们把图片视为一个矩阵，那么我们将其乘以一个0到1的小数，就得到了缩放后的图片。

但我们单独缩放x值时：

当我们尝试将图片对称时：

y轴对称，则x取负值

切变：

上边向右移动了距离a，但y轴高不变。

底边不变，也就是说，在y为1的情况下，x的每个坐标都向右移动了y*a个单位。

体现在矩阵中，如下图公式。

（个人认为左上到右下的值为缩放，右上到左下的值为偏移）

旋转：

在不确定原点和方向的情况下，默认原点为（0,0），默认方向为逆时针。

旋转，可以看作每一个点，在乘以一个矩阵后，得到了一个新的位置。而实际上，偏移缩放，也是可以这样理解的。如何得到这个矩阵，就是变换的关键。

已知在旋转中，大小不变。那么我们可以通过一条边的长度，旋转的角度，根据勾股定理得到其余两条边的长度。于是便得到了第一个特殊点（cos角度，sin角度）。

既然我们已经有了初始点位，变换后的点位，便可以根据初始点位与矩阵的叉积，得到变换后的点位。再然后便是二元一次方程。得解。

总结：

我们的变换总是遵从下图的规律，这种变换称之为线性变换。

齐次坐标：

图片的平移，只需要单纯地加上偏移量就可以了。

但这样，我们无法把它写成矩阵公式。

所以在平移计算中，我们只能另外添加一个向量来得到最终结果。

但我们希望得到一个更方便的变换方式，来解决所有的变换问题。所以我们引入了齐次坐标。

用空间复杂度来将平移变换写入公式。

点的坐标变换，引入变量1，向量为了维持方向不变，引入变量0。

逆变换：

我们将变换的方法进行逆变换，便得到未变换的值。

即坐标乘以矩阵后得到的值，再乘以这个矩阵的逆矩阵，便会得到未变换的值。

注意：

变换的顺序是非常重要的。先旋转后平移和先平移后旋转是两个结果。就如同矩阵的乘法不满足交换律。

其结果便是矩阵不满足交换律。

向量默认作为列向量。

矩阵的计算是从右到左的计算顺序。

三维变换：

三维变换和二维变换极为相似，在原有计算的基础上更换为四维矩阵。