【授权转载】针对暴击率/暴击伤害配比及低暴击率凹伤害通关的概率论分析

作者：yhsjjs     美工：白猫大人

    我认为有些东西不需要人人都能看懂，它仅仅是在这里就足够了。感谢yhsjjs授权的搬运，我在此基础上进行了美化和总结。

白猫大人

各种论坛里经常出现如下争议：

· 双暴的配比为何总是推荐1:2？

· 低暴击高暴伤的“唯暴伤论”，是否仅仅在竞争大数字上有优势？

· 执意追求1:2的双暴的“唯暴击论”，是否在实践上有意义？

· 通过低暴击高暴伤来“凹”深渊，是否真的可行？

· “伤害期望”真的有实战意义吗？是否需要成千上万次伤害才能体现出来？实战中只有几十几百次伤害，是否运气比期望重要？

· “暴击的作用和攻击频率挂钩，攻击频率越高，暴击率就可以稍微低点”这种论调是否正确？

本文试图通过严格的概率论，而不是文字论证或者“体感”，来计算解决上面的争议。

关于这些问题，已经有相当多的分析。但很遗憾的是，这些分析的作者大部分单纯是依赖于“体感”的“文字分析”；在少数使用概率论的分析中，也基本只涉及对“伤害期望”的分析，而并没有对于完整概率分布的分析。“凹”这种做法，就是远离伤害期望的一种“大偏差”(只是借用这个名词，并不是概率论严格意义上的那个“大偏差”)，对于这种“大偏差”的分析，必须要考察完整的概率分布。因此，本文的重点就在于通过完整的概率分布，来分析低暴击高暴伤“凹”深渊的做法，是否真的有优势。

并不重要的说明1：本文仅考虑伤害的客观数字，并不考虑人的心理因素(厌恶风险/追求风险)。关于这一点，请参考期望效用理论。

并不重要的说明2：为方便(偷懒)起见，没有把公式分开插图，而是全文用LaTeX一并完成后截图。因此推荐在电脑上阅读。

重要的说明1：本文计算成立的前提条件是非常理想的，换句话说就是“真空农场中的球形鸡”。因此，读者应当把本文的结论理解为'定性'而不是'定量'的结论。对于本文中提出的三个公式，应当弄清其成立条件，不应不加条件地滥用。在实际情况下(成立条件无法精确符合)，这三个公式仅仅作为参考，并不精确。

重要的说明2：本文并不涉及对优质圣遗物获取难度的假定。这在实际的游戏体验中当然是很重要(甚至是最重要)的一个环节；很多人并不是不认同1:2，只是实在堆不起暴击，只能50/150凑合；或者新角色不少都是突破加暴伤，再加上暴伤武器，一些角色堆暴伤要容易得多。本文并不考虑双暴容不容易堆，只是希望给读者一个指导：在他面临70/140和50/180的抉择的时候，能够有理有据地选择其中更合适的一个。

重要的说明3：确实有很多人并不相信概率论(或者不相信频率学派)，而是更相信主观概率/"人品守恒"/"玄学"/"体感"/"暗改"。这种认知观念上的差异是自由的，但并不在本文的讨论范畴内；本文并不试图让这部分人接受本文的结论。

下面进入正文。如有计算错误、补充的地方以及其它思路请提出。如果对于具体的计算过程不感兴趣，可以直接跳到最后的总结。

下面是正文完成后，一些临时加入的评注或者修改:

1. 第3小节中，M比较小的时候，曲线的波动来自于这样一件事实：面对1.5单位血量的怪，70/140无论如何都要两次攻击才能击杀，但是50/180则有一半概率单次击杀，所以反倒是期望伤害低的配比有利。这种情况只有在怪血量少的情况下概率大，随着怪血量的提升，扩散近似逐渐主导，曲线不再有波动。

2. 第11小节中，读者可能会问为什么不直接用中心极限定理计算。其原因在于，实际上rate function在数学期望那个点展开到二阶，就退化成中心极限定理的正态分布。因此，“总伤害超出期望伤害若**例”这种rare events的概率，在超出比例比较小时，确实可以用中心极限定理计算；但是超出比例比较大时，二阶展开就不再准确，只有用表达更加复杂的特征次数来计算。

3. 关于“暴击的作用和攻击频率挂钩，攻击频率越高，暴击率就可以稍微低点”这个观点的评注。一般而言，攻击频率高的话，单次倍率就比较低，所以需要更高的总伤害次数来造成同样的总伤害。那么对于同样的特征次数，攻击频率越高，越容易超出特征次数，更难以碰运气打出高于期望一定比例的伤害。